Theorem iunconn 21231

Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunconn.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
iunconn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
iunconn.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
iunconn.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)

Assertion

Ref	Expression
iunconn	⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ Conn)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐽   𝑃,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iunconn

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
2		simplr1 1103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅)
3		n0 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 𝑣 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
4		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
5	4	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝑣 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
6		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑣 ∈ 𝐵)
7		rexn0 4074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑣 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)
8	6, 7	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝐴 ≠ ∅)
9	5, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
10	9	exlimiv 1858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑣 𝑣 ∈ (𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐴 ≠ ∅)
11	3, 10	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝐴 ≠ ∅)
13		simplll 798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝜑)
14		iunconn.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
15	14	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
17		r19.2z 4060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
18	12, 16, 17	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
19		eliun 4524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑃 ∈ 𝐵)
20	18, 19	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝑃 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
21	1, 20	sseldd 3604	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝑃 ∈ (𝑢 ∪ 𝑣))
22		elun 3753	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑢 ∪ 𝑣) ↔ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
23	21, 22	sylib 208	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
24		iunconn.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
25	13, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
26		iunconn.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
27	13, 26	sylan 488	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
28	13, 14	sylan 488	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
29		iunconn.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)
30	13, 29	sylan 488	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)
31		simpllr 799	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽))
32	31	simpld 475	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝑢 ∈ 𝐽)
33	31	simprd 479	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → 𝑣 ∈ 𝐽)
34		simplr2 1104	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅)
35		simplr3 1105	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
36		nfv 1843	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽))
37		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑢
38		nfiu1 4550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
39	37, 38	nfin 3820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
40		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘∅
41	39, 40	nfne 2894	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅
42		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑣
43	42, 38	nfin 3820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
44	43, 40	nfne 2894	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅
45		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∩ 𝑣)
46		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
47	46, 38	nfdif 3731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
48	45, 47	nfss 3596	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
49	41, 44, 48	nf3an 1831	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
50	36, 49	nfan 1828	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)))
51	37, 42	nfun 3769	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑢 ∪ 𝑣)
52	38, 51	nfss 3596	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)
53	50, 52	nfan 1828	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
54	25, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 1, 53	iunconnlem 21230	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑢)
55		incom 3805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∩ 𝑢) = (𝑢 ∩ 𝑣)
56	55, 35	syl5eqss 3649	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → (𝑣 ∩ 𝑢) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
57		uncom 3757	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∪ 𝑣) = (𝑣 ∪ 𝑢)
58	1, 57	syl6sseq 3651	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑣 ∪ 𝑢))
59	25, 27, 28, 30, 33, 32, 2, 56, 58, 53	iunconnlem 21230	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑣)
60		ioran 511	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣) ↔ (¬ 𝑃 ∈ 𝑢 ∧ ¬ 𝑃 ∈ 𝑣))
61	54, 59, 60	sylanbrc 698	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)) → ¬ (𝑃 ∈ 𝑢 ∨ 𝑃 ∈ 𝑣))
62	23, 61	pm2.65da 600	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) ∧ ((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))
63	62	ex 450	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐽 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽)) → (((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))
64	63	ralrimivva 2971	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 ∀𝑣 ∈ 𝐽 (((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣)))
65	26	ralrimiva 2966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋)
66		iunss 4561	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋)
67	65, 66	sylibr 224	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋)
68		connsub 21224	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝑋) → ((𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 ∀𝑣 ∈ 𝐽 (((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
69	24, 67, 68	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ Conn ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 ∀𝑣 ∈ 𝐽 (((𝑢 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑣 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑢 ∩ 𝑣) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) → ¬ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑢 ∪ 𝑣))))
70	64, 69	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ Conn)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ∪ ciun 4520  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081  TopOnctopon 20715  Conncconn 21214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-conn 21215

This theorem is referenced by:  unconn  21232  conncompconn  21235