Theorem iunconnlem 21230

Description: Lemma for iunconn 21231. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunconn.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
iunconn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
iunconn.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
iunconn.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)
iunconn.6	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
iunconn.7	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐽)
iunconn.8	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅)
iunconn.9	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
iunconn.10	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))
iunconn.11	⊢ Ⅎ𝑘𝜑

Assertion

Ref	Expression
iunconnlem	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐽   𝑃,𝑘   𝑘,𝑋   𝑈,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iunconnlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunconn.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅)
2		n0 3931	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
3	1, 2	sylib 208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
4		elin 3796	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
5		eliun 4524	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)
6		iunconn.11	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		nfv 1843	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ 𝑉
8	6, 7	nfan 1828	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)
9		nfv 1843	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 ¬ 𝑃 ∈ 𝑈
10		iunconn.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)
12		iunconn.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
13	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14		iunconn.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
16		iunconn.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
17	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝐽)
18		iunconn.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐽)
19	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝑉 ∈ 𝐽)
20		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝑃 ∈ 𝑈)
21		iunconn.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
23		inelcm 4032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑈 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
24	20, 22, 23	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
25		inelcm 4032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑉 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
26	25	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑉 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
27		iunconn.9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
28	27	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
29		ssiun2 4563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
30	29	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
31	30	sscond 3747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ⊆ (𝑋 ∖ 𝐵))
32	28, 31	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ 𝐵))
33		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ 𝑈
34		toponss 20731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑈 ⊆ 𝑋)
35	13, 17, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ 𝑋)
36	33, 35	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ 𝑋)
37		reldisj 4020	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ 𝑋 → (((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ 𝐵)))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ 𝐵)))
39	32, 38	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐵) = ∅)
40		iunconn.10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))
41	40	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))
42	30, 41	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))
43	13, 15, 17, 19, 24, 26, 39, 42	nconnsubb 21226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)
44	43	expr 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ∈ 𝑈 → ¬ (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn))
45	11, 44	mt2d 131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈)
46	45	an4s 869	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈)
47	46	exp32 631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈)))
48	8, 9, 47	rexlimd 3026	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈))
49	5, 48	syl5bi 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈))
50	49	expimpd 629	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈))
51	4, 50	syl5bi 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈))
52	51	exlimdv 1861	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈))
53	3, 52	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483  ∃wex 1704  Ⅎwnf 1708   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ∪ ciun 4520  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081  TopOnctopon 20715  Conncconn 21214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-conn 21215

This theorem is referenced by:  iunconn  21231  iunconnlem2  39171