Theorem iunctb 9396

Description: The countable union of countable sets is countable (indexed union version of unictb 9397). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunctb	⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iunctb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)
2		simpl 473	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
3		reldom 7961	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelexi 5158	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
5	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
6		ovex 6678	. . . . . . 7 ⊢ (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V
7	6	rgenw 2924	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V
8		iunexg 7143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V)
9	5, 7, 8	sylancl 694	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V)
10		acncc 9262	. . . . 5 ⊢ AC ω = V
11	9, 10	syl6eleqr 2712	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ AC ω)
12		acndom 8874	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ AC ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ AC 𝐴))
13	2, 11, 12	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ AC 𝐴)
14		simpr 477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω)
15		omex 8540	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
16		xpdom1g 8057	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ (ω × ω))
17	15, 2, 16	sylancr 695	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ (ω × ω))
18		xpomen 8838	. . . . 5 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
19		domentr 8015	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (𝐴 × ω) ≼ ω)
20	17, 18, 19	sylancl 694	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ ω)
21	3	brrelexi 5158	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
22	21	ralimi 2952	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
23		iunexg 7143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
24	4, 22, 23	syl2an 494	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
25		omelon 8543	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
26		onenon 8775	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ω ∈ dom card
28		numacn 8872	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → (ω ∈ dom card → ω ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
29	24, 27, 28	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ω ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
30		acndom2 8877	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × ω) ≼ ω → (ω ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → (𝐴 × ω) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
31	20, 29, 30	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
32	1, 13, 14, 31	iundomg 9363	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × ω))
33		domtr 8009	. 2 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × ω) ∧ (𝐴 × ω) ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω)
34	32, 20, 33	syl2anc 693	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200  {csn 4177  ∪ ciun 4520   class class class wbr 4653   × cxp 5112  dom cdm 5114  Oncon0 5723  (class class class)co 6650  ωcom 7065   ↑_𝑚 cmap 7857   ≈ cen 7952   ≼ cdom 7953  cardccrd 8761  AC wacn 8764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768

This theorem is referenced by:  unictb  9397  heiborlem3  33612