Theorem limsupres 39937

Description: The superior limit of a restriction is less than or equal to the original superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsupres.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
limsupres	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupres

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		resimass 39449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
4		ssrin 3838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) → (((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
6	5	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
7		inss2 3834	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
9	6, 8	sstrd 3613	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
10	9	supxrcld 39290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	8	supxrcld 39290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12		supxrss 12162	. . . 4 ⊢ (((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ∧ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*) → sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
13	6, 8, 12	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
14	1, 10, 11, 13	infrnmptle 39650	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
15		limsupres.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
16	15	resexd 39321	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ V)
17		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
18	17	limsupval 14205	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) ∈ V → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐶)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
19	16, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐶)) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
20		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
21	20	limsupval 14205	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
22	15, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
23	19, 22	breq12d 4666	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹) ↔ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ≤ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )))
24	14, 23	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ran crn 5115   ↾ cres 5116   “ cima 5117  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  supcsup 8346  infcinf 8347  ℝcr 9935  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075  [,)cico 12177  lim supclsp 14201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-limsup 14202

This theorem is referenced by: (None)