Theorem lspsnel5a 18996

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 20-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnel5a.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnel5a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnel5a.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnel5a.a	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspsnel5a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lspsnel5a	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lspsnel5a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnel5a.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
2		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		lspsnel5a.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspsnel5a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		lspsnel5a.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lspsnel5a.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3	lssel 18938	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
8	6, 1, 7	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
9	2, 3, 4, 5, 6, 8	lspsnel5 18995	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
10	1, 9	mpbid 222	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  {csn 4177  ‘cfv 5888  Basecbs 15857  LModclmod 18863  LSubSpclss 18932  LSpanclspn 18971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972

This theorem is referenced by:  lssats2  19000  lspsn  19002  lspsnvsi  19004  lsmelval2  19085  lspprabs  19095  lspvadd  19096  lspabs3  19121  lsmcv  19141  lspsnat  19145  lsppratlem6  19152  issubassa2  19345  lshpnel  34270  lsatel  34292  lsmsat  34295  lssatomic  34298  lssats  34299  lsat0cv  34320  dia2dimlem10  36362  dochsatshpb  36741  lclkrlem2f  36801  lcfrlem25  36856  lcfrlem35  36866  mapdval2N  36919  mapdrvallem2  36934  mapdpglem8  36968  mapdpglem13  36973  mapdindp0  37008  mapdh6aN  37024  mapdh8e  37073  mapdh9a  37079  hdmap1l6a  37099  hdmapval0  37125  hdmapval3lemN  37129  hdmap10lem  37131  hdmap11lem1  37133  hdmap11lem2  37134  hdmaprnlem4N  37145  hdmaprnlem3eN  37150