Theorem lsmcv 19141

Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 28511 analog.) TODO: ugly proof; can it be shortened? (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmcv.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcv.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmcv.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmcv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsmcv.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lsmcv.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsmcv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsmcv	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))

Proof of Theorem lsmcv

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1063	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
2		simp2 1062	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇 ⊊ 𝑈)
3		pssss 3702	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑈 → 𝑇 ⊆ 𝑈)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇 ⊆ 𝑈)
5		pssnel 4039	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑈 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇))
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇))
7		simpl3 1066	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
8		simprl 794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
9	7, 8	sseldd 3604	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
10		lsmcv.w	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
11		lveclmod 19106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
13		lsmcv.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
14	13	lsssssubg 18958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
16		lsmcv.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
17	15, 16	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		lsmcv.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
19		lsmcv.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
20		lsmcv.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
21	19, 13, 20	lspsncl 18977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
22	12, 18, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
23	15, 22	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
24		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
25		lsmcv.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
26	24, 25	lsmelval 18064	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
27	17, 23, 26	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
28	27	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
29	28	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → (𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
30	9, 29	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧))
31		simp1rr 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)
32		simp2l 1087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑇)
33		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (0g‘𝑊) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)))
34	33	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (0g‘𝑊) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊))))
35	34	biimpac 503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∧ 𝑧 = (0g‘𝑊)) → 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)))
36	12	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LMod)
37	36	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LMod)
38	16	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇 ∈ 𝑆)
39	38	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇 ∈ 𝑆)
40		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑦 ∈ 𝑇)
41	19, 13	lssel 18938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝑉)
42	39, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
43		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
44	19, 24, 43	lmod0vrid 18894	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 𝑦)
45	37, 42, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 𝑦)
46	45	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) ↔ 𝑥 = 𝑦))
47	46	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) → 𝑥 = 𝑦))
48	47	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) → 𝑥 = 𝑦)))
49	35, 48	syl7 74	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∧ 𝑧 = (0g‘𝑊)) → 𝑥 = 𝑦)))
50	49	exp4a 633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → (𝑧 = (0g‘𝑊) → 𝑥 = 𝑦))))
51	50	3imp 1256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → (𝑧 = (0g‘𝑊) → 𝑥 = 𝑦))
52		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑇 ↔ 𝑦 ∈ 𝑇))
53	52	biimparc 504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑇)
54	32, 51, 53	syl6an 568	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → (𝑧 = (0g‘𝑊) → 𝑥 ∈ 𝑇))
55	54	necon3bd 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊)))
56	31, 55	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
57	10	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LVec)
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → 𝑊 ∈ LVec)
59	58	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ LVec)
60		lmodabl 18910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
61	11, 60	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
62	59, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ Abel)
63		simp1l1 1154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝜑)
64	63, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
65	64, 32, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
66	59, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ LMod)
67	63, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
68	66, 67, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
69		simp2r 1088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
70	19, 13	lssel 18938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
71	68, 69, 70	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑉)
72		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
73	19, 24, 72	ablpncan2 18221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑦(+g‘𝑊)𝑧)(-g‘𝑊)𝑦) = 𝑧)
74	62, 65, 71, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → ((𝑦(+g‘𝑊)𝑧)(-g‘𝑊)𝑦) = 𝑧)
75		lsmcv.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
76	63, 75	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
77		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧))
78		simp1rl 1126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
79	77, 78	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑈)
80		simp1l2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑇 ⊊ 𝑈)
81	3	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝑈)
82	80, 32, 81	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
83	72, 13	lssvsubcl 18944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ ((𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑦(+g‘𝑊)𝑧)(-g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
84	66, 76, 79, 82, 83	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → ((𝑦(+g‘𝑊)𝑧)(-g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
85	74, 84	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
86	59	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
87	63	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝜑)
88	87, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
89		simp12r 1175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
90		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
91	19, 43, 20, 86, 88, 89, 90	lspsneleq 19115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{𝑋}))
92	86, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
93	87, 75	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
94		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ 𝑈)
95	13, 20, 92, 93, 94	lspsnel5a 18996	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈)
96	91, 95	eqsstr3d 3640	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
97	56, 85, 96	mpd3an23 1426	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
98	97	3exp 1264	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
99	98	rexlimdvv 3037	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
100	30, 99	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
101	6, 100	exlimddv 1863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
102	15, 75	sseldd 3604	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
103	25	lsmlub 18078	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
104	17, 23, 102, 103	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
105	104	3ad2ant1 1082	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
106	4, 101, 105	mpbi2and 956	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈)
107	1, 106	eqssd 3620	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574   ⊊ wpss 3575  {csn 4177  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  0_gc0g 16100  -_gcsg 17424  SubGrpcsubg 17588  LSSumclsm 18049  Abelcabl 18194  LModclmod 18863  LSubSpclss 18932  LSpanclspn 18971  LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103

This theorem is referenced by:  lshpnelb  34271  lshpcmp  34275  lsmsatcv  34297  lsmcv2  34316  dochshpncl  36673