Theorem mgplem 18494

Description: Lemma for mgpbas 18495. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgplem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
mgplem.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
mgplem.4	⊢ 𝑁 ≠ 2

Assertion

Ref	Expression
mgplem	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑀)

Proof of Theorem mgplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgplem.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		mgplem.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 15883	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		mgplem.4	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 2
5	1, 2	ndxarg 15882	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
6		plusgndx 15976	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
7	5, 6	neeq12i 2860	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 2)
8	4, 7	mpbir 221	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
9	3, 8	setsnid 15915	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
10		mgpbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	10, 11	mgpval 18492	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
13	12	fveq2i 6194	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑀) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
14	9, 13	eqtr4i 2647	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ⟨cop 4183  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℕcn 11020  2c2 11070  ndxcnx 15854   sSet csts 15855  Slot cslot 15856  +_gcplusg 15941  ._rcmulr 15942  mulGrpcmgp 18489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mgp 18490

This theorem is referenced by:  mgpbas  18495  mgpsca  18496  mgptset  18497  mgpds  18499