Theorem mgpbas 18495

Description: Base set of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Proof of Theorem mgpbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mgpbas.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3		df-base 15863	. . 3 ⊢ Base = Slot 1
4		1nn 11031	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		1ne2 11240	. . 3 ⊢ 1 ≠ 2
6	2, 3, 4, 5	mgplem 18494	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
7	1, 6	eqtri 2644	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1483  ‘cfv 5888  1c1 9937  Basecbs 15857  mulGrpcmgp 18489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mgp 18490

This theorem is referenced by:  mgptopn  18498  mgpress  18500  dfur2  18504  srgcl  18512  srgass  18513  srgideu  18514  srgidcl  18518  srgidmlem  18520  issrgid  18523  srg1zr  18529  srgpcomp  18532  srgpcompp  18533  srgpcomppsc  18534  srgbinomlem1  18540  srgbinomlem4  18543  srgbinomlem  18544  srgbinom  18545  csrgbinom  18546  ringcl  18561  crngcom  18562  iscrng2  18563  ringass  18564  ringideu  18565  ringidcl  18568  ringidmlem  18570  isringid  18573  ringidss  18577  ringpropd  18582  crngpropd  18583  isringd  18585  iscrngd  18586  ring1  18602  gsummgp0  18608  prdsmgp  18610  oppr1  18634  unitgrpbas  18666  unitsubm  18670  rngidpropd  18695  dfrhm2  18717  rhmmul  18727  isrhm2d  18728  idrhm  18731  rhmf1o  18732  pwsco1rhm  18738  pwsco2rhm  18739  isdrng2  18757  drngmcl  18760  drngid2  18763  isdrngd  18772  subrgsubm  18793  issubrg3  18808  cntzsubr  18812  pwsdiagrhm  18813  rhmpropd  18815  rlmscaf  19208  sraassa  19325  assamulgscmlem1  19348  assamulgscmlem2  19349  psrcrng  19413  mplcoe3  19466  mplcoe5lem  19467  mplcoe5  19468  mplbas2  19470  evlslem6  19513  evlslem3  19514  evlslem1  19515  mpfind  19536  ply1moncl  19641  coe1tm  19643  coe1pwmul  19649  ply1scltm  19651  ply1coefsupp  19665  ply1coe  19666  gsummoncoe1  19674  lply1binomsc  19677  evls1gsummul  19690  evls1varpw  19691  evl1expd  19709  evl1gsummul  19724  evl1scvarpw  19727  evl1scvarpwval  19728  evl1gsummon  19729  xrsmcmn  19769  cnfldexp  19779  cnmsubglem  19809  expmhm  19815  nn0srg  19816  rge0srg  19817  expghm  19844  cnmsgnbas  19924  ringvcl  20204  mamuvs2  20212  matgsumcl  20266  madetsmelbas  20270  madetsmelbas2  20271  mat1mhm  20290  scmatmhm  20340  mdetleib2  20394  mdetf  20401  m1detdiag  20403  mdetdiaglem  20404  mdetdiag  20405  mdetdiagid  20406  mdetrlin  20408  mdetrsca  20409  mdetralt  20414  mdetunilem7  20424  mdetunilem8  20425  mdetuni0  20427  m2detleiblem2  20434  m2detleiblem3  20435  m2detleiblem4  20436  smadiadetlem4  20475  mat2pmatmhm  20538  pmatcollpwscmatlem1  20594  mply1topmatcllem  20608  mply1topmatcl  20610  pm2mpghm  20621  pm2mpmhm  20625  monmat2matmon  20629  pm2mp  20630  chpscmat  20647  chpscmatgsumbin  20649  chpscmatgsummon  20650  chp0mat  20651  chpidmat  20652  chfacfscmulcl  20662  chfacfscmul0  20663  chfacfscmulgsum  20665  chfacfpmmulcl  20666  chfacfpmmul0  20667  chfacfpmmulgsum  20669  chfacfpmmulgsum2  20670  cayhamlem1  20671  cpmadugsumlemB  20679  cpmadugsumlemC  20680  cpmadugsumlemF  20681  cayhamlem2  20689  cayhamlem4  20693  nrgtrg  22494  deg1pw  23880  ply1remlem  23922  fta1blem  23928  plypf1  23968  efabl  24296  efsubm  24297  amgm  24717  wilthlem2  24795  wilthlem3  24796  dchrelbas2  24962  dchrelbas3  24963  dchrzrhmul  24971  dchrmulcl  24974  dchrn0  24975  dchrinvcl  24978  dchrfi  24980  dchrsum2  24993  sum2dchr  24999  lgsqrlem1  25071  lgsqrlem2  25072  lgsqrlem3  25073  lgsqrlem4  25074  lgseisenlem3  25102  lgseisenlem4  25103  dchrisum0flblem1  25197  psgnid  29847  mdetpmtr1  29889  iistmd  29948  xrge0iifmhm  29985  xrge0pluscn  29986  pl1cn  30001  hbtlem4  37696  subrgacs  37770  cntzsdrg  37772  idomrootle  37773  isdomn3  37782  mon1psubm  37784  deg1mhm  37785  amgm2d  38501  amgm3d  38502  amgm4d  38503  isringrng  41881  rngcl  41883  isrnghmmul  41893  rnghmf1o  41903  idrnghm  41908  c0rhm  41912  c0rnghm  41913  lidlmmgm  41925  lidlmsgrp  41926  2zrngmmgm  41946  2zrngmsgrp  41947  2zrngnring  41952  cznrng  41955  cznnring  41956  mgpsumunsn  42140  mgpsumz  42141  mgpsumn  42142  invginvrid  42148  ply1vr1smo  42169  ply1mulgsumlem4  42177  ply1mulgsum  42178  amgmlemALT  42549  amgmw2d  42550