Theorem mgpplusg 18493

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpplusg	⊢ · = (+g‘𝑀)

Proof of Theorem mgpplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
2		fvex 6201	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . 4 ⊢ · ∈ V
4		plusgid 15977	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
5	4	setsid 15914	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
6	3, 5	mpan2 707	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
7		mgpval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8	7, 1	mgpval 18492	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
9	8	fveq2i 6194	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
10	6, 9	syl6eqr 2674	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
11	4	str0 15911	. . 3 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
12		fvprc 6185	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
13	1, 12	syl5eq 2668	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
14		fvprc 6185	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
15	7, 14	syl5eq 2668	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑀 = ∅)
16	15	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘∅))
17	11, 13, 16	3eqtr4a 2682	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
18	10, 17	pm2.61i 176	1 ⊢ · = (+g‘𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ∅c0 3915  ⟨cop 4183  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ndxcnx 15854   sSet csts 15855  +_gcplusg 15941  ._rcmulr 15942  mulGrpcmgp 18489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mgp 18490

This theorem is referenced by:  dfur2  18504  srgcl  18512  srgass  18513  srgideu  18514  srgidmlem  18520  issrgid  18523  srg1zr  18529  srgpcomp  18532  srgpcompp  18533  srgbinomlem4  18543  srgbinomlem  18544  csrgbinom  18546  ringcl  18561  crngcom  18562  iscrng2  18563  ringass  18564  ringideu  18565  ringidmlem  18570  isringid  18573  ringidss  18577  ringpropd  18582  crngpropd  18583  isringd  18585  iscrngd  18586  ring1  18602  gsummgp0  18608  prdsmgp  18610  oppr1  18634  unitgrp  18667  unitlinv  18677  unitrinv  18678  rngidpropd  18695  invrpropd  18698  dfrhm2  18717  rhmmul  18727  isrhm2d  18728  isdrng2  18757  drngmcl  18760  drngid2  18763  isdrngd  18772  subrgugrp  18799  issubrg3  18808  cntzsubr  18812  rhmpropd  18815  rlmscaf  19208  sraassa  19325  assamulgscmlem2  19349  psrcrng  19413  mplcoe3  19466  mplcoe5lem  19467  mplcoe5  19468  mplcoe2  19469  mplbas2  19470  evlslem1  19515  mpfind  19536  coe1tm  19643  ply1coe  19666  xrsmcmn  19769  cnfldexp  19779  cnmsubglem  19809  expmhm  19815  nn0srg  19816  rge0srg  19817  expghm  19844  psgnghm  19926  psgnco  19929  evpmodpmf1o  19942  ringvcl  20204  mamuvs2  20212  mat1mhm  20290  scmatmhm  20340  mdetdiaglem  20404  mdetrlin  20408  mdetrsca  20409  mdetralt  20414  mdetunilem7  20424  mdetuni0  20427  m2detleib  20437  invrvald  20482  mat2pmatmhm  20538  pm2mpmhm  20625  chfacfpmmulgsum2  20670  cpmadugsumlemB  20679  cnmpt1mulr  21985  cnmpt2mulr  21986  reefgim  24204  efabl  24296  efsubm  24297  amgm  24717  wilthlem2  24795  wilthlem3  24796  dchrelbas3  24963  dchrzrhmul  24971  dchrmulcl  24974  dchrn0  24975  dchrinvcl  24978  dchrptlem2  24990  dchrsum2  24993  sum2dchr  24999  lgseisenlem3  25102  lgseisenlem4  25103  rdivmuldivd  29791  ringinvval  29792  dvrcan5  29793  rhmunitinv  29822  iistmd  29948  xrge0iifmhm  29985  xrge0pluscn  29986  pl1cn  30001  cntzsdrg  37772  isdomn3  37782  mon1psubm  37784  deg1mhm  37785  amgm2d  38501  amgm3d  38502  amgm4d  38503  isringrng  41881  rngcl  41883  isrnghmmul  41893  lidlmmgm  41925  lidlmsgrp  41926  2zrngmmgm  41946  2zrngmsgrp  41947  2zrngnring  41952  cznrng  41955  cznnring  41956  mgpsumunsn  42140  invginvrid  42148  amgmlemALT  42549  amgmw2d  42550