Theorem ofdivrec 38525

Description: Function analogue of divrec 10701, a division analogue of ofnegsub 11018. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ofdivrec	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐹 ∘𝑓 · ((𝐴 × {1}) ∘𝑓 / 𝐺)) = (𝐹 ∘𝑓 / 𝐺))

Proof of Theorem ofdivrec

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		simp2 1062	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		ffn 6045	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐹 Fn 𝐴)
5		ax-1cn 9994	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		fnconstg 6093	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝐴 × {1}) Fn 𝐴)
7	5, 6	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐴 × {1}) Fn 𝐴)
8		simp3 1063	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
9		ffn 6045	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) → 𝐺 Fn 𝐴)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐺 Fn 𝐴)
11		inidm 3822	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
12	7, 10, 1, 1, 11	offn 6908	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝐴 × {1}) ∘𝑓 / 𝐺) Fn 𝐴)
13	4, 10, 1, 1, 11	offn 6908	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐹 ∘𝑓 / 𝐺) Fn 𝐴)
14		eqidd 2623	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
15		1cnd 10056	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 1 ∈ ℂ)
16		eqidd 2623	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
17	1, 15, 10, 16	ofc1 6920	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {1}) ∘𝑓 / 𝐺)‘𝑥) = (1 / (𝐺‘𝑥)))
18		ffvelrn 6357	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
19	2, 18	sylan 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
20		ffvelrn 6357	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
21		eldifsn 4317	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0))
22	20, 21	sylib 208	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0))
23	8, 22	sylan 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0))
24		divrec 10701	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) → ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (1 / (𝐺‘𝑥))))
25	24	eqcomd 2628	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0) → ((𝐹‘𝑥) · (1 / (𝐺‘𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))
26	25	3expb 1266	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝐹‘𝑥) · (1 / (𝐺‘𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))
27	19, 23, 26	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) · (1 / (𝐺‘𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))
28	4, 10, 1, 1, 11, 14, 16	ofval 6906	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘𝑓 / 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥)))
29	27, 28	eqtr4d 2659	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) · (1 / (𝐺‘𝑥))) = ((𝐹 ∘𝑓 / 𝐺)‘𝑥))
30	1, 4, 12, 13, 14, 17, 29	offveq 6918	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐹 ∘𝑓 · ((𝐴 × {1}) ∘𝑓 / 𝐺)) = (𝐹 ∘𝑓 / 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ∖ cdif 3571  {csn 4177   × cxp 5112   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941   / cdiv 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by: (None)