Theorem fnconstg 6093

Description: A Cartesian product with a singleton is a constant function. (Contributed by NM, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fnconstg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)

Proof of Theorem fnconstg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 6092	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		ffn 6045	. 2 ⊢ ((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  {csn 4177   × cxp 5112   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892

This theorem is referenced by:  fconst2g  6468  ofc1  6920  ofc2  6921  caofid0l  6925  caofid0r  6926  caofid1  6927  caofid2  6928  fnsuppres  7322  fczsupp0  7324  fczfsuppd  8293  brwdom2  8478  cantnf0  8572  ofnegsub  11018  ofsubge0  11019  pwsplusgval  16150  pwsmulrval  16151  pwsvscafval  16154  xpsc0  16220  xpsc1  16221  pwsco1mhm  17370  dprdsubg  18423  pwsmgp  18618  pwssplit1  19059  frlmpwsfi  20096  frlmbas  20099  frlmvscaval  20110  islindf4  20177  tmdgsum2  21900  0plef  23439  0pledm  23440  itg1ge0  23453  mbfi1fseqlem5  23486  xrge0f  23498  itg2ge0  23502  itg2addlem  23525  bddibl  23606  dvidlem  23679  rolle  23753  dveq0  23763  dv11cn  23764  tdeglem4  23820  mdeg0  23830  fta1blem  23928  qaa  24078  basellem9  24815  ofcc  30168  ofcof  30169  eulerpartlemt  30433  noextendseq  31820  matunitlindflem1  33405  matunitlindflem2  33406  ptrecube  33409  poimirlem1  33410  poimirlem2  33411  poimirlem3  33412  poimirlem4  33413  poimirlem5  33414  poimirlem6  33415  poimirlem7  33416  poimirlem10  33419  poimirlem11  33420  poimirlem12  33421  poimirlem16  33425  poimirlem17  33426  poimirlem19  33428  poimirlem20  33429  poimirlem22  33431  poimirlem23  33432  poimirlem28  33437  poimirlem29  33438  poimirlem31  33440  poimirlem32  33441  broucube  33443  cnpwstotbnd  33596  eqlkr2  34387  pwssplit4  37659  mpaaeu  37720  rngunsnply  37743  ofdivrec  38525  dvconstbi  38533  zlmodzxzscm  42135  aacllem  42547