Theorem pserval2 24165

Description: Value of the function 𝐺 that gives the sequence of monomials of a power series. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
pserval2	⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑁) = ((𝐴‘𝑁) · (𝑋↑𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem pserval2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pser.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
2	1	pserval 24164	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝐺‘𝑋) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑦) · (𝑋↑𝑦))))
3	2	fveq1d 6193	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝐺‘𝑋)‘𝑁) = ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑦) · (𝑋↑𝑦)))‘𝑁))
4		fveq2 6191	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝐴‘𝑦) = (𝐴‘𝑁))
5		oveq2 6658	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑋↑𝑦) = (𝑋↑𝑁))
6	4, 5	oveq12d 6668	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ((𝐴‘𝑦) · (𝑋↑𝑦)) = ((𝐴‘𝑁) · (𝑋↑𝑁)))
7		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑦) · (𝑋↑𝑦))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑦) · (𝑋↑𝑦)))
8		ovex 6678	. . 3 ⊢ ((𝐴‘𝑁) · (𝑋↑𝑁)) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6282	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑦) · (𝑋↑𝑦)))‘𝑁) = ((𝐴‘𝑁) · (𝑋↑𝑁)))
10	3, 9	sylan9eq 2676	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑁) = ((𝐴‘𝑁) · (𝑋↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   · cmul 9941  ℕ₀cn0 11292  ↑cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021  df-n0 11293

This theorem is referenced by:  radcnvlem1  24167  radcnv0  24170  dvradcnv  24175  pserulm  24176  psercn2  24177  pserdvlem2  24182  abelth  24195