Theorem recreclt 10922

Description: Given a positive number 𝐴, construct a new positive number less than both 𝐴 and 1. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recreclt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 1 ∧ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 𝐴))

Proof of Theorem recreclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recgt0 10867	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
2		gt0ne0 10493	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3		rereccl 10743	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	2, 3	syldan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
5		1re 10039	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltaddpos 10518	. . . . 5 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ 1 < (1 + (1 / 𝐴))))
7	4, 5, 6	sylancl 694	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) ↔ 1 < (1 + (1 / 𝐴))))
8	1, 7	mpbid 222	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 1 < (1 + (1 / 𝐴)))
9		readdcl 10019	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
10	5, 4, 9	sylancr 695	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
11		0lt1 10550	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
12		0re 10040	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		lttr 10114	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < (1 + (1 / 𝐴))) → 0 < (1 + (1 / 𝐴))))
14	12, 5, 13	mp3an12 1414	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < (1 + (1 / 𝐴))) → 0 < (1 + (1 / 𝐴))))
15	10, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((0 < 1 ∧ 1 < (1 + (1 / 𝐴))) → 0 < (1 + (1 / 𝐴))))
16	11, 15	mpani 712	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < (1 + (1 / 𝐴)) → 0 < (1 + (1 / 𝐴))))
17	8, 16	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 + (1 / 𝐴)))
18		recgt1 10919	. . . 4 ⊢ (((1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + (1 / 𝐴))) → (1 < (1 + (1 / 𝐴)) ↔ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 1))
19	10, 17, 18	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < (1 + (1 / 𝐴)) ↔ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 1))
20	8, 19	mpbid 222	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 1)
21		ltaddpos 10518	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ (1 / 𝐴) < ((1 / 𝐴) + 1)))
22	5, 4, 21	sylancr 695	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 1 ↔ (1 / 𝐴) < ((1 / 𝐴) + 1)))
23	11, 22	mpbii 223	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) < ((1 / 𝐴) + 1))
24	4	recnd 10068	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
25		ax-1cn 9994	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		addcom 10222	. . . . 5 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((1 / 𝐴) + 1) = (1 + (1 / 𝐴)))
27	24, 25, 26	sylancl 694	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) + 1) = (1 + (1 / 𝐴)))
28	23, 27	breqtrd 4679	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) < (1 + (1 / 𝐴)))
29		simpl 473	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
30		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
31		ltrec1 10910	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ ((1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + (1 / 𝐴)))) → ((1 / 𝐴) < (1 + (1 / 𝐴)) ↔ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 𝐴))
32	29, 30, 10, 17, 31	syl22anc 1327	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) < (1 + (1 / 𝐴)) ↔ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 𝐴))
33	28, 32	mpbid 222	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 𝐴)
34	20, 33	jca 554	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 1 ∧ (1 / (1 + (1 / 𝐴))) < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   / cdiv 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by: (None)