Theorem 0lt1 10550

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10039	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		ax-1ne0 10005	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
3		msqgt0 10548	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 0) → 0 < (1 · 1))
4	1, 2, 3	mp2an 708	. 2 ⊢ 0 < (1 · 1)
5		ax-1cn 9994	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
6	5	mulid1i 10042	. 2 ⊢ (1 · 1) = 1
7	4, 6	breqtri 4678	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  0le1  10551  eqneg  10745  elimgt0  10859  ltp1  10861  ltm1  10863  recgt0  10867  mulgt1  10882  reclt1  10918  recgt1  10919  recgt1i  10920  recp1lt1  10921  recreclt  10922  recgt0ii  10929  inelr  11010  nnge1  11046  nngt0  11049  0nnn  11052  nnrecgt0  11058  2pos  11112  3pos  11114  4pos  11116  5pos  11118  6pos  11119  7pos  11120  8pos  11121  9pos  11122  10posOLD  11123  neg1lt0  11127  halflt1  11250  nn0p1gt0  11322  elnnnn0c  11338  elnnz1  11403  nn0lt10b  11439  recnz  11452  1rp  11836  divlt1lt  11899  divle1le  11900  ledivge1le  11901  nnledivrp  11940  xmulid1  12109  0nelfz1  12360  fz10  12362  fzpreddisj  12390  elfznelfzob  12574  1mod  12702  expgt1  12898  ltexp2a  12912  expcan  12913  ltexp2  12914  leexp2  12915  leexp2a  12916  expnbnd  12993  expnlbnd  12994  expnlbnd2  12995  expmulnbnd  12996  discr1  13000  bcn1  13100  hashnn0n0nn  13180  brfi1indALT  13282  brfi1indALTOLD  13288  s2fv0  13632  swrd2lsw  13695  2swrd2eqwrdeq  13696  sgn1  13832  resqrex  13991  mulcn2  14326  cvgrat  14615  bpoly4  14790  cos1bnd  14917  sin01gt0  14920  sincos1sgn  14923  ruclem8  14966  nnoddm1d2  15102  sadcadd  15180  dvdsnprmd  15403  isprm7  15420  divdenle  15457  43prm  15829  ipostr  17153  srgbinomlem4  18543  abvtrivd  18840  gzrngunit  19812  znidomb  19910  psgnodpmr  19936  thlle  20041  leordtval2  21016  mopnex  22324  dscopn  22378  metnrmlem1a  22661  xrhmph  22746  evth  22758  xlebnum  22764  vitalilem5  23381  vitali  23382  ply1remlem  23922  plyremlem  24059  plyrem  24060  vieta1lem2  24066  reeff1olem  24200  sinhalfpilem  24215  rplogcl  24350  logtayllem  24405  cxplt  24440  cxple  24441  atanlogaddlem  24640  ressatans  24661  rlimcnp  24692  rlimcnp2  24693  cxp2limlem  24702  cxp2lim  24703  cxploglim2  24705  amgmlem  24716  emcllem2  24723  harmonicubnd  24736  fsumharmonic  24738  zetacvg  24741  ftalem1  24799  ftalem2  24800  chpchtsum  24944  chpub  24945  mersenne  24952  perfectlem2  24955  efexple  25006  chebbnd1  25161  dchrmusumlema  25182  dchrvmasumlem2  25187  dchrvmasumiflem1  25190  dchrisum0flblem2  25198  dchrisum0lema  25203  dchrisum0lem1  25205  dchrisum0lem2a  25206  mulog2sumlem1  25223  chpdifbndlem1  25242  chpdifbnd  25244  selberg3lem1  25246  pntrmax  25253  pntrsumo1  25254  pntpbnd1a  25274  pntpbnd2  25276  pntibndlem1  25278  pntlem3  25298  pnt  25303  ostth2lem1  25307  ostth2lem3  25324  ostth2lem4  25325  axcontlem2  25845  wwlksn0s  26746  clwwlksf1  26917  esumcst  30125  hasheuni  30147  ballotlemi1  30564  ballotlemic  30568  sgnnbi  30607  sgnpbi  30608  sgnmulsgp  30612  signsply0  30628  signswch  30638  hgt750lem  30729  unblimceq0  32498  knoppndvlem1  32503  knoppndvlem2  32504  knoppndvlem7  32509  knoppndvlem13  32515  knoppndvlem14  32516  knoppndvlem15  32517  knoppndvlem17  32519  knoppndvlem20  32522  poimirlem22  33431  poimirlem31  33440  asindmre  33495  areacirclem4  33503  pellexlem2  37394  pellexlem6  37398  pell14qrgt0  37423  elpell1qr2  37436  pellfundex  37450  pellfundrp  37452  rmxypos  37514  relexp01min  38005  imo72b2  38475  radcnvrat  38513  reclt0d  39607  sqrlearg  39780  sumnnodd  39862  liminf10ex  40006  liminfltlimsupex  40013  dvnmul  40158  stoweidlem7  40224  stoweidlem36  40253  stoweidlem38  40255  stoweidlem42  40259  stoweidlem51  40268  stoweidlem59  40276  stirlinglem5  40295  stirlinglem7  40297  stirlinglem10  40300  stirlinglem11  40301  stirlinglem12  40302  stirlinglem15  40305  dirkeritg  40319  fourierdlem11  40335  fourierdlem30  40354  fourierdlem47  40370  fourierdlem79  40402  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fouriersw  40448  etransclem4  40455  etransclem31  40482  etransclem32  40483  etransclem35  40486  etransclem41  40492  salexct2  40557  hoidmvlelem1  40809  m1mod0mod1  41339  m1modmmod  42316  regt1loggt0  42330  rege1logbrege0  42352  nnlog2ge0lt1  42360  amgmwlem  42548