Theorem sigarms 41045

Description: Signed area is additive (with respect to subtraction) by the second argument. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
sigarms	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴𝐺𝐵) − (𝐴𝐺𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigarms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp2 1062	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		simp3 1063	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
4	2, 3	subcld 10392	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
5		sigar	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
6	5	sigarac 41041	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴𝐺(𝐵 − 𝐶)) = -((𝐵 − 𝐶)𝐺𝐴))
7	1, 4, 6	syl2anc 693	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺(𝐵 − 𝐶)) = -((𝐵 − 𝐶)𝐺𝐴))
8	5	sigarmf 41043	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐶)𝐺𝐴) = ((𝐵𝐺𝐴) − (𝐶𝐺𝐴)))
9	8	negeqd 10275	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -((𝐵 − 𝐶)𝐺𝐴) = -((𝐵𝐺𝐴) − (𝐶𝐺𝐴)))
10	9	3com12 1269	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -((𝐵 − 𝐶)𝐺𝐴) = -((𝐵𝐺𝐴) − (𝐶𝐺𝐴)))
11		3simpa 1058	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
12	11	ancomd 467	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
13	5	sigarim 41040	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℝ)
15	14	recnd 10068	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ)
16		3simpb 1059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
17	16	ancomd 467	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
18	5	sigarim 41040	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℝ)
20	19	recnd 10068	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ)
21		negsubdi 10337	. . . . 5 ⊢ (((𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ) → -((𝐵𝐺𝐴) − (𝐶𝐺𝐴)) = (-(𝐵𝐺𝐴) + (𝐶𝐺𝐴)))
22		simpl 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ)
23	22	negcld 10379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ) → -(𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ)
24		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ)
25	23, 24	subnegd 10399	. . . . 5 ⊢ (((𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ) → (-(𝐵𝐺𝐴) − -(𝐶𝐺𝐴)) = (-(𝐵𝐺𝐴) + (𝐶𝐺𝐴)))
26	21, 25	eqtr4d 2659	. . . 4 ⊢ (((𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ) → -((𝐵𝐺𝐴) − (𝐶𝐺𝐴)) = (-(𝐵𝐺𝐴) − -(𝐶𝐺𝐴)))
27	15, 20, 26	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -((𝐵𝐺𝐴) − (𝐶𝐺𝐴)) = (-(𝐵𝐺𝐴) − -(𝐶𝐺𝐴)))
28	10, 27	eqtrd 2656	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -((𝐵 − 𝐶)𝐺𝐴) = (-(𝐵𝐺𝐴) − -(𝐶𝐺𝐴)))
29	5	sigarac 41041	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
30	1, 2, 29	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
31	30	eqcomd 2628	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -(𝐵𝐺𝐴) = (𝐴𝐺𝐵))
32	5	sigarac 41041	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐶) = -(𝐶𝐺𝐴))
33	1, 3, 32	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐶) = -(𝐶𝐺𝐴))
34	33	eqcomd 2628	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -(𝐶𝐺𝐴) = (𝐴𝐺𝐶))
35	31, 34	oveq12d 6668	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (-(𝐵𝐺𝐴) − -(𝐶𝐺𝐴)) = ((𝐴𝐺𝐵) − (𝐴𝐺𝐶)))
36	7, 28, 35	3eqtrd 2660	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴𝐺𝐵) − (𝐴𝐺𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  ℂcc 9934  ℝcr 9935   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266  -cneg 10267  ∗ccj 13836  ℑcim 13838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841

This theorem is referenced by:  sigarexp  41048  sigaradd  41055