Theorem negcld 10379

Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negcl 10281	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  ℂcc 9934  -cneg 10267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  negcon1ad  10387  recextlem1  10657  mul2lt0rlt0  11932  xov1plusxeqvd  12318  ceim1l  12646  modnegd  12725  expaddzlem  12903  cjreb  13863  sqrtneg  14008  max0add  14050  iseraltlem2  14413  iseraltlem3  14414  fsumsub  14520  telfsumo2  14535  incexc  14569  incexc2  14570  fallrisefac  14756  binomrisefac  14773  efi4p  14867  oexpneg  15069  bitscmp  15160  bitsf1  15168  pcadd2  15594  gznegcl  15639  mulgdirlem  17572  mulgdir  17573  znunit  19912  cphsqrtcl2  22986  pjthlem1  23208  mbfsub  23429  iblcnlem1  23554  itgcnlem  23556  iblneg  23569  itgneg  23570  iblsub  23588  itgsub  23592  ditgcl  23622  dvrec  23718  dvmptsub  23730  dvrecg  23736  dvmptdiv  23737  dvsincos  23744  rolle  23753  vieta1lem2  24066  vieta1  24067  sinmpi  24239  cosmpi  24240  sinppi  24241  cosppi  24242  tanabsge  24258  efeq1  24275  tanord  24284  logtayl  24406  logtayl2  24408  logccv  24409  cxpneg  24427  cxpmul2z  24437  logreclem  24500  cosangneg2d  24537  isosctrlem2  24549  isosctrlem3  24550  angpieqvdlem  24555  quad2  24566  dcubic1lem  24570  dcubic2  24571  dcubic  24573  mcubic  24574  dquartlem1  24578  dquartlem2  24579  dquart  24580  quartlem1  24584  quartlem2  24585  quartlem3  24586  quartlem4  24587  quart  24588  asinlem  24595  asinlem2  24596  asinneg  24613  sinasin  24616  cosasin  24631  atandmneg  24633  tanatan  24646  atandmtan  24647  atantan  24650  atantayl  24664  zetacvg  24741  dmgmaddnn0  24753  lgamgulmlem2  24756  lgamgulmlem4  24758  lgambdd  24763  lgamucov  24764  ftalem4  24802  ftalem5  24803  ftalem7  24805  basellem5  24811  chpdifbndlem1  25242  padicabvcxp  25321  brbtwn2  25785  ipasslem2  27687  pjhthlem1  28250  divnumden2  29564  archirngz  29743  madjusmdetlem4  29896  circlemeth  30718  logdivsqrle  30728  poimirlem29  33438  dvtan  33460  itg2addnclem3  33463  iblsubnc  33471  itgsubnc  33472  itgmulc2nc  33478  ftc1anclem5  33489  ftc1anclem8  33492  dvasin  33496  areacirclem1  33500  pell1234qrreccl  37418  pell14qrdich  37433  rmxyneg  37485  acongsym  37543  jm2.26a  37567  jm2.26lem3  37568  expgrowth  38534  binomcxplemdvbinom  38552  binomcxplemnotnn0  38555  sineq0ALT  39173  fzisoeu  39514  fperiodmul  39518  isumneg  39834  climneg  39842  neglimc  39879  sublimc  39884  reclimc  39885  dvcosre  40126  dvcosax  40141  itgsin0pilem1  40165  itgsinexplem1  40169  itgsincmulx  40190  stoweidlem13  40230  stirlinglem5  40295  dirkertrigeqlem3  40317  fourierdlem30  40354  fourierdlem39  40363  fourierdlem40  40364  fourierdlem41  40365  fourierdlem43  40367  fourierdlem47  40370  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem73  40396  fourierdlem78  40401  fourierdlem92  40415  fourierdlem101  40424  fourierdlem103  40426  fourierdlem111  40434  sqwvfoura  40445  fouriersw  40448  etransclem17  40468  etransclem18  40469  etransclem23  40474  etransclem46  40497  sigarms  41045  sigaradd  41055  oexpnegALTV  41588  oexpnegnz  41589  2zrngagrp  41943  altgsumbc  42130  dignn0flhalflem1  42409  amgmwlem  42548