Theorem supicclub2 12323

Description: The supremum of a bounded set of real numbers is the least upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
supicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
supiccub.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
supicclub2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
supicclub2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐷   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem supicclub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supicclub2.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐷)
2		supicc.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
3		iccssxr 12256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
4	2, 3	syl6ss 3615	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5	4	sselda 3603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ*)
6		supiccub.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
7	4, 6	sseldd 3604	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
8	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ*)
9		xrlenlt 10103	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑧 ≤ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝑧))
10	5, 8, 9	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ≤ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝑧))
11	1, 10	mpbid 222	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐷 < 𝑧)
12	11	nrexdv 3001	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐷 < 𝑧)
13		supicc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
14		supicc.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
15		supicc.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
16	13, 14, 2, 15, 6	supicclub 12322	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐷 < 𝑧))
17	12, 16	mtbird 315	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ))
18	13, 14, 2, 15	supicc 12320	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))
19	3, 18	sseldi 3601	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
20		xrlenlt 10103	. . 3 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < )))
21	19, 7, 20	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < )))
22	17, 21	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  supcsup 8346  ℝcr 9935  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075  [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-icc 12182

This theorem is referenced by: (None)