Theorem zltaddlt1le 12324

Description: The sum of an integer and a real number between 0 and 1 is less than or equal to a second integer iff the sum is less than the second integer. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zltaddlt1le	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) < 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem zltaddlt1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11381	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
3		elioore 12205	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)1) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	2, 4	readdcld 10069	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	3adant2 1080	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ)
7		zre 11381	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	3ad2ant2 1083	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		ltle 10126	. . 3 ⊢ (((𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐴) < 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁))
10	6, 8, 9	syl2anc 693	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) < 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁))
11		elioo3g 12204	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)1) ↔ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
12		simpl 473	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 1) → 0 < 𝐴)
13	11, 12	simplbiim 659	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝐴)
14	3, 13	elrpd 11869	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
15		addlelt 11942	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
16	1, 7, 14, 15	syl3an 1368	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
17		zltp1le 11427	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
18	17	3adant3 1081	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
19	3	3ad2ant3 1084	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20		1red 10055	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
21	1	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
22		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 1)
23	11, 22	simplbiim 659	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)1) → 𝐴 < 1)
24	23	3ad2ant3 1084	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 < 1)
25	19, 20, 21, 24	ltadd2dd 10196	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 + 𝐴) < (𝑀 + 1))
26		peano2z 11418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
27	26	zred 11482	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
28	27	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
29		ltletr 10129	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑀 + 𝐴) < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
30	6, 28, 8, 29	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (((𝑀 + 𝐴) < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
31	25, 30	mpand 711	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
32	18, 31	sylbid 230	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
33	16, 32	syld 47	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
34	10, 33	impbid 202	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) < 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075  ℤcz 11377  ℝ⁺crp 11832  (,)cioo 12175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-rp 11833  df-ioo 12179

This theorem is referenced by:  halfleoddlt  15086