Theorem toponss 20731

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4467	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
3		toponuni 20719	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	2, 4	sseqtr4d 3642	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  ∪ cuni 4436  ‘cfv 5888  TopOnctopon 20715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topon 20716

This theorem is referenced by:  en2top  20789  neiptopreu  20937  iscnp3  21048  cnntr  21079  cncnp  21084  isreg2  21181  connsub  21224  iunconnlem  21230  conncompclo  21238  1stccnp  21265  kgenidm  21350  tx1cn  21412  tx2cn  21413  xkoccn  21422  txcnp  21423  ptcnplem  21424  xkoinjcn  21490  idqtop  21509  qtopss  21518  kqfvima  21533  kqsat  21534  kqreglem1  21544  kqreglem2  21545  qtopf1  21619  fbflim  21780  flimcf  21786  flimrest  21787  isflf  21797  fclscf  21829  subgntr  21910  ghmcnp  21918  qustgpopn  21923  qustgplem  21924  tsmsxplem1  21956  tsmsxp  21958  ressusp  22069  mopnss  22251  xrtgioo  22609  lebnumlem2  22761  cfilfcls  23072  iscmet3lem2  23090  dvres3a  23678  dvmptfsum  23738  dvcnvlem  23739  dvcnv  23740  efopn  24404  dvatan  24662  txomap  29901  cnllysconn  31227  cvmlift2lem9a  31285  icccncfext  40100  dvmptconst  40129  dvmptidg  40131  qndenserrnopnlem  40517  opnvonmbllem2  40847