Theorem wrdexg 13315

Description: The set of words over a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
wrdexg	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wrdexg

Dummy variables 𝑠 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdval 13308	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 = ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)))
2		mapsspw 7893	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆)
3		elfzoelz 12470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (0..^𝑙) → 𝑠 ∈ ℤ)
4	3	ssriv 3607	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑙) ⊆ ℤ
5		xpss1 5228	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^𝑙) ⊆ ℤ → ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆)
7		sspwb 4917	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆) ↔ 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆))
8	6, 7	mpbi 220	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
9	2, 8	sstri 3612	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
10	9	rgenw 2924	. . . 4 ⊢ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
11		iunss 4561	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆))
12	10, 11	mpbir 221	. . 3 ⊢ ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
13		zex 11386	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
14		xpexg 6960	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (ℤ × 𝑆) ∈ V)
15	13, 14	mpan 706	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (ℤ × 𝑆) ∈ V)
16		pwexg 4850	. . . 4 ⊢ ((ℤ × 𝑆) ∈ V → 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∈ V)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∈ V)
18		ssexg 4804	. . 3 ⊢ ((∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∧ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∈ V) → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V)
19	12, 17, 18	sylancr 695	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V)
20	1, 19	eqeltrd 2701	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158  ∪ ciun 4520   × cxp 5112  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857  0cc0 9936  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ..^cfzo 12465  Word cword 13291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-pm 7860  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-word 13299

This theorem is referenced by:  wrdexb  13316  wrdexi  13317  wrdnfi  13338  elovmpt2wrd  13347  elovmptnn0wrd  13348  wrd2f1tovbij  13703  frmdbas  17389  frmdplusg  17391  vrmdfval  17393  efgval  18130  frgp0  18173  frgpmhm  18178  vrgpf  18181  vrgpinv  18182  frgpupf  18186  frgpup1  18188  frgpup2  18189  frgpup3lem  18190  frgpnabllem1  18276  frgpnabllem2  18277  ablfaclem1  18484  israg  25592  wksfval  26505  wksv  26515  wwlks  26727  clwwlks  26879  sseqval  30450  upwlksfval  41716