Theorem frgpmhm 18178

Description: The "natural map" from words of the free monoid to their cosets in the free group is a surjective monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpmhm.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))
frgpmhm.w	⊢ 𝑊 = (Base‘𝑀)
frgpmhm.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpmhm.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑊 ↦ [𝑥] ∼ )

Assertion

Ref	Expression
frgpmhm	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥, ∼

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem frgpmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 7568	. . . . 5 ⊢ 2𝑜 ∈ On
2		xpexg 6960	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
3	1, 2	mpan2 707	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
4		frgpmhm.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))
5	4	frmdmnd 17396	. . . 4 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → 𝑀 ∈ Mnd)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
7		frgpmhm.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8	7	frgpgrp 18175	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
9		grpmnd 17429	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)
11	6, 10	jca 554	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd))
12		frgpmhm.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑀)
13	4, 12	frmdbas 17389	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
14		wrdexg 13315	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
15		fvi 6255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
17	13, 16	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
18	3, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
19	18	eleq2d 2687	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
20	19	biimpa 501	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
21		frgpmhm.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
22		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
23		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
24	7, 21, 22, 23	frgpeccl 18174	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) → [𝑥] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
25	20, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → [𝑥] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
26		frgpmhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑊 ↦ [𝑥] ∼ )
27	25, 26	fmptd 6385	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺))
28	22, 21	efger 18131	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
29		ereq2 7750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) → ( ∼ Er 𝑊 ↔ ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
30	18, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ( ∼ Er 𝑊 ↔ ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
31	28, 30	mpbiri 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∼ Er 𝑊)
32	31	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → ∼ Er 𝑊)
33		fvex 6201	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
34	12, 33	eqeltri 2697	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
36	32, 35, 26	divsfval 16207	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] ∼ )
37		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
38	4, 12, 37	frmdadd 17392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
39	38	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
40	39	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)))
41	32, 35, 26	divsfval 16207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑎) = [𝑎] ∼ )
42	32, 35, 26	divsfval 16207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑏) = [𝑏] ∼ )
43	41, 42	oveq12d 6668	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)) = ([𝑎] ∼ (+g‘𝐺)[𝑏] ∼ ))
44	18	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝑊 ↔ 𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
45	18	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑏 ∈ 𝑊 ↔ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
46	44, 45	anbi12d 747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊) ↔ (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))))
47	46	biimpa 501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
48		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
49	22, 7, 21, 48	frgpadd 18176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝐺)[𝑏] ∼ ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] ∼ )
50	47, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝐺)[𝑏] ∼ ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] ∼ )
51	43, 50	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] ∼ )
52	36, 40, 51	3eqtr4d 2666	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)))
53	52	ralrimivva 2971	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑎 ∈ 𝑊 ∀𝑏 ∈ 𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)))
54	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
55	31, 54, 26	divsfval 16207	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = [∅] ∼ )
56	7, 21	frgp0 18173	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] ∼ = (0g‘𝐺)))
57	56	simprd 479	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → [∅] ∼ = (0g‘𝐺))
58	55, 57	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (0g‘𝐺))
59	27, 53, 58	3jca 1242	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑊 ∀𝑏 ∈ 𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g‘𝐺)))
60	4	frmd0 17397	. . 3 ⊢ ∅ = (0g‘𝑀)
61		eqid 2622	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
62	12, 23, 37, 48, 60, 61	ismhm 17337	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑊 ∀𝑏 ∈ 𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g‘𝐺))))
63	11, 59, 62	sylanbrc 698	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200  ∅c0 3915   ↦ cmpt 4729   I cid 5023   × cxp 5112  Oncon0 5723  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  2_𝑜c2o 7554   Er wer 7739  [cec 7740  Word cword 13291   ++ cconcat 13293  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  0_gc0g 16100  Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333  freeMndcfrmd 17384  Grpcgrp 17422   ~_FG cefg 18119  freeGrpcfrgp 18120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-frmd 17386  df-grp 17425  df-efg 18122  df-frgp 18123

This theorem is referenced by:  frgpup3lem  18190