Theorem vrgpf 18181

Description: The mapping from the index set to the generators is a function into the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vrgpfval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
vrgpfval.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
vrgpf.m	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
vrgpf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vrgpf	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶𝑋)

Proof of Theorem vrgpf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	prid1 4297	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
3		df2o3 7573	. . . . . . . . 9 ⊢ 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
4	2, 3	eleqtrri 2700	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 2𝑜
5		opelxpi 5148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
6	4, 5	mpan2 707	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
7	6	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
8	7	s1cld 13383	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
9		2on 7568	. . . . . . . 8 ⊢ 2𝑜 ∈ On
10		xpexg 6960	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
11	9, 10	mpan2 707	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
12	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
13		wrdexg 13315	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
14		fvi 6255	. . . . . 6 ⊢ (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
16	8, 15	eleqtrrd 2704	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
17		vrgpf.m	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
18		vrgpfval.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
19		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
20		vrgpf.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
21	17, 18, 19, 20	frgpeccl 18174	. . . 4 ⊢ (⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) → [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ∼ ∈ 𝑋)
22	16, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ∼ ∈ 𝑋)
23		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ∼ ) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ∼ )
24	22, 23	fmptd 6385	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ∼ ):𝐼⟶𝑋)
25		vrgpfval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
26	18, 25	vrgpfval 18179	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈 = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ∼ ))
27	26	feq1d 6030	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑈:𝐼⟶𝑋 ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ∼ ):𝐼⟶𝑋))
28	24, 27	mpbird 247	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ∅c0 3915  {cpr 4179  ⟨cop 4183   ↦ cmpt 4729   I cid 5023   × cxp 5112  Oncon0 5723  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  1_𝑜c1o 7553  2_𝑜c2o 7554  [cec 7740  Word cword 13291  ⟨“cs1 13294  Basecbs 15857   ~_FG cefg 18119  freeGrpcfrgp 18120  var_FGrpcvrgp 18121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-s1 13302  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-imas 16168  df-qus 16169  df-frmd 17386  df-frgp 18123  df-vrgp 18124

This theorem is referenced by:  frgpup3lem  18190  frgpup3  18191  0frgp  18192  frgpnabllem2  18277  frgpnabl  18278  frgpcyg  19922