Theorem xltnegi 12047

Description: Forward direction of xltneg 12048. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xltnegi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)

Proof of Theorem xltnegi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 11950	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		elxr 11950	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3		ltneg 10528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
4		rexneg 12042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
5		rexneg 12042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
6	4, 5	breqan12rd 4670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ↔ -𝐵 < -𝐴))
7	3, 6	bitr4d 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
8	7	biimpd 219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
9		xnegeq 12038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
10		xnegpnf 12040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -𝑒+∞ = -∞
11	9, 10	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
12	11	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -∞)
13		renegcl 10344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
14	5, 13	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
15		mnflt 11957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → -∞ < -𝑒𝐴)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < -𝑒𝐴)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -∞ < -𝑒𝐴)
18	12, 17	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)
19	18	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
20		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
21	20	breq2d 4665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < -∞))
22		rexr 10085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
23		nltmnf 11963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < -∞)
25	24	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
26	25	pm2.21d 118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < -∞ → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
27	21, 26	sylbid 230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
28	8, 19, 27	3jaodan 1394	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
29	2, 28	sylan2b 492	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
30	29	expimpd 629	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
31		simpl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = +∞)
32	31	breq1d 4663	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
33		pnfnlt 11962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
34	33	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐵)
35	34	pm2.21d 118	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
36	32, 35	sylbid 230	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
37	36	expimpd 629	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
38		breq1 4656	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ -∞ < 𝐵))
39	38	anbi2d 740	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵)))
40		renegcl 10344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
41	4, 40	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
42	41	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
43		ltpnf 11954	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑒𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 < +∞)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
45	11	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 = -∞)
46		mnfltpnf 11960	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ < +∞
47	45, 46	syl6eqbr 4692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
48		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < -∞))
49		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
50		nltmnf 11963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ -∞ < -∞
52	51	pm2.21i 116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞ < -∞ → -𝑒𝐵 < +∞)
53	48, 52	syl6bi 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 → -𝑒𝐵 < +∞))
54	53	imp 445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
55	44, 47, 54	3jaoian 1393	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞) ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
56	2, 55	sylanb 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
57		xnegeq 12038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
58		xnegmnf 12041	. . . . . . . 8 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
59	57, 58	syl6eq 2672	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
60	59	breq2d 4665	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ↔ -𝑒𝐵 < +∞))
61	56, 60	syl5ibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
62	39, 61	sylbid 230	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
63	30, 37, 62	3jaoi 1391	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
64	1, 63	sylbi 207	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
65	64	3impib 1262	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∨ w3o 1036   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ℝcr 9935  +∞cpnf 10071  -∞cmnf 10072  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074  -cneg 10267  -_𝑒cxne 11943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-xneg 11946

This theorem is referenced by:  xltneg  12048  xrsdsreclblem  19792