Theorem renegcl 10344

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4139 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 10342, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 10273	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2686	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 10039	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4150	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 10342	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4139	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ifcif 4086  ℝcr 9935  1c1 9937  -cneg 10267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  resubcl  10345  negreb  10346  renegcld  10457  negn0  10459  negf1o  10460  ltnegcon1  10529  ltnegcon2  10530  lenegcon1  10532  lenegcon2  10533  mullt0  10547  mulge0b  10893  mulle0b  10894  negfi  10971  fiminre  10972  infm3lem  10981  infm3  10982  riotaneg  11002  elnnz  11387  btwnz  11479  ublbneg  11773  supminf  11775  uzwo3  11783  zmax  11785  rebtwnz  11787  rpneg  11863  negelrp  11864  max0sub  12027  xnegcl  12044  xnegneg  12045  xltnegi  12047  rexsub  12064  xnegid  12069  xnegdi  12078  xpncan  12081  xnpcan  12082  xadddi  12125  iooneg  12292  iccneg  12293  icoshftf1o  12295  dfceil2  12640  ceicl  12642  ceige  12644  ceim1l  12646  negmod0  12677  negmod  12715  addmodlteq  12745  crim  13855  cnpart  13980  sqrtneglem  14007  absnid  14038  max0add  14050  absdiflt  14057  absdifle  14058  sqreulem  14099  resinhcl  14886  rpcoshcl  14887  tanhlt1  14890  tanhbnd  14891  remulg  19953  resubdrg  19954  cnheiborlem  22753  evth2  22759  ismbf3d  23421  mbfinf  23432  itgconst  23585  reeff1o  24201  atanbnd  24653  sgnneg  30602  ltflcei  33397  cos2h  33400  iblabsnclem  33473  ftc1anclem1  33485  areacirclem2  33501  areacirclem3  33502  areacirc  33505  mulltgt0  39181  rexabslelem  39645  xnegrecl  39665  supminfrnmpt  39672  supminfxr  39694  limsupre  39873  climinf3  39948  liminfreuzlem  40034  stoweidlem10  40227  etransclem46  40497  smfinflem  41023