Theorem xpscfv 16222

Description: The value of the pair function at an element of 2_𝑜. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpscfv	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2𝑜) → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem xpscfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4197	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ {∅, 1𝑜} → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1𝑜))
2		df2o3 7573	. . . 4 ⊢ 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
3	1, 2	eleq2s 2719	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 2𝑜 → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1𝑜))
4		xpsc0 16220	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
6		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∅ → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅))
7		iftrue 4092	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∅ → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
8	6, 7	eqeq12d 2637	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = ∅ → ((◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴))
9	5, 8	syl5ibrcom 237	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 = ∅ → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
10		xpsc1 16221	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
11	10	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
12		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = 1𝑜 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜))
13		1n0 7575	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
14		neeq1 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = 1𝑜 → (𝐶 ≠ ∅ ↔ 1𝑜 ≠ ∅))
15	13, 14	mpbiri 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = 1𝑜 → 𝐶 ≠ ∅)
16		ifnefalse 4098	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = 1𝑜 → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
18	12, 17	eqeq12d 2637	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = 1𝑜 → ((◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵))
19	11, 18	syl5ibrcom 237	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 = 1𝑜 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
20	9, 19	jaod 395	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1𝑜) → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
21	3, 20	syl5 34	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ 2𝑜 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
22	21	3impia 1261	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2𝑜) → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∅c0 3915  ifcif 4086  {csn 4177  {cpr 4179  ^◡ccnv 5113  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1_𝑜c1o 7553  2_𝑜c2o 7554   +_𝑐 ccda 8989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1o 7560  df-2o 7561  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  xpsfrn2  16230  xpslem  16233  xpsaddlem  16235  xpsvsca  16239