Theorem xrge0f 23498

Description: A real function is a nonnegative extended real function if all its values are greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0f	⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem xrge0f

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6045	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
2	1	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 𝐹 Fn ℝ)
3		ax-resscn 9993	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ⊆ ℂ)
5	4, 1	0pledm 23440	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹 ↔ (ℝ × {0}) ∘𝑟 ≤ 𝐹))
6		0re 10040	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		fnconstg 6093	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
8	6, 7	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (ℝ × {0}) Fn ℝ)
9		reex 10027	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ∈ V)
11		inidm 3822	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
12		c0ex 10034	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
13	12	fvconst2 6469	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((ℝ × {0})‘𝑥) = 0)
14	13	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ × {0})‘𝑥) = 0)
15		eqidd 2623	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
16	8, 1, 10, 10, 11, 14, 15	ofrfval 6905	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ((ℝ × {0}) ∘𝑟 ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
17		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 10089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
19	18	biantrurd 529	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥))))
20		elxrge0 12281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
21	19, 20	syl6bbr 278	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
22	21	ralbidva 2985	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
23	5, 16, 22	3bitrd 294	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
24	23	biimpa 501	. 2 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
25		ffnfv 6388	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
26	2, 24, 25	sylanbrc 698	1 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {csn 4177   class class class wbr 4653   × cxp 5112   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑟 cofr 6896  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   ≤ cle 10075  [,]cicc 12178  0_𝑝c0p 23436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-ofr 6898  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-icc 12182  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  itg2itg1  23503