Theorem frec2uzzd 9402

Description: The value of 𝐺 (see frec2uz0d 9401) is an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzzd	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzzd

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzzd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
2		simpr 108	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝐴) → 𝑤 = 𝐴)
3	2	eleq1d 2147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝐴) → (𝑤 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
4	2	fveq2d 5202	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝐴) → (𝐺‘𝑤) = (𝐺‘𝐴))
5	4	eleq1d 2147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝐴) → ((𝐺‘𝑤) ∈ ℤ ↔ (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ))
6	3, 5	imbi12d 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝐴) → ((𝑤 ∈ ω → (𝐺‘𝑤) ∈ ℤ) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)))
7		fveq2 5198	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐺‘𝑤) = (𝐺‘∅))
8	7	eleq1d 2147	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐺‘𝑤) ∈ ℤ ↔ (𝐺‘∅) ∈ ℤ))
9		fveq2 5198	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐺‘𝑤) = (𝐺‘𝑦))
10	9	eleq1d 2147	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝐺‘𝑤) ∈ ℤ ↔ (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ))
11		fveq2 5198	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = suc 𝑦 → (𝐺‘𝑤) = (𝐺‘suc 𝑦))
12	11	eleq1d 2147	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = suc 𝑦 → ((𝐺‘𝑤) ∈ ℤ ↔ (𝐺‘suc 𝑦) ∈ ℤ))
13		frec2uz.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
14		frec2uz.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
15	13, 14	frec2uz0d 9401	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)
16	15, 13	eqeltrd 2155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) ∈ ℤ)
17		zex 8360	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℤ ∈ V
18	17	mptex 5408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) ∈ V
19		vex 2604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑧 ∈ V
20	18, 19	fvex 5215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
21	20	ax-gen 1378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
22		frecsuc 6014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ω) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝑦) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝑦)))
23	21, 22	mp3an1 1255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ω) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝑦) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝑦)))
24	13, 23	sylan 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝑦) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝑦)))
25	14	fveq1i 5199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺‘suc 𝑦) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝑦)
26	14	fveq1i 5199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺‘𝑦) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝑦)
27	26	fveq2i 5201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺‘𝑦)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝑦))
28	24, 25, 27	3eqtr4g 2138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑦) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺‘𝑦)))
29		oveq1 5539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑦) → (𝑧 + 1) = ((𝐺‘𝑦) + 1))
30		oveq1 5539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + 1) = (𝑧 + 1))
31	30	cbvmptv 3873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 + 1))
32		peano2z 8387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 + 1) ∈ ℤ)
33	29, 31, 32	fvmpt3 5272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺‘𝑦)) = ((𝐺‘𝑦) + 1))
34	28, 33	sylan9eq 2133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ) → (𝐺‘suc 𝑦) = ((𝐺‘𝑦) + 1))
35		peano2z 8387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ ℤ → ((𝐺‘𝑦) + 1) ∈ ℤ)
36	35	adantl 271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐺‘𝑦) + 1) ∈ ℤ)
37	34, 36	eqeltrd 2155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ) → (𝐺‘suc 𝑦) ∈ ℤ)
38	37	ex 113	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) ∈ ℤ → (𝐺‘suc 𝑦) ∈ ℤ))
39	38	expcom 114	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝜑 → ((𝐺‘𝑦) ∈ ℤ → (𝐺‘suc 𝑦) ∈ ℤ)))
40	8, 10, 12, 16, 39	finds2 4342	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝜑 → (𝐺‘𝑤) ∈ ℤ))
41	40	com12 30	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ω → (𝐺‘𝑤) ∈ ℤ))
42	1, 6, 41	vtocld 2651	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ))
43	1, 42	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102  ∀wal 1282   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601  ∅c0 3251   ↦ cmpt 3839  suc csuc 4120  ωcom 4331  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  freccfrec 6000  1c1 6982   + caddc 6984  ℤcz 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-recs 5943  df-frec 6001  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352

This theorem is referenced by:  frec2uzsucd  9403  frec2uzltd  9405  frec2uzlt2d  9406  frec2uzf1od  9408  frec2uzrdg  9411