Theorem axcaucvglemcl 7061

Description: Lemma for axcaucvg 7066. Mapping to N and R. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcaucvglemcl.n	⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
axcaucvglemcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑁⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
axcaucvglemcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (℩𝑧 ∈ R (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨𝑧, 0R⟩) ∈ R)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝐽,𝑙,𝑢,𝑧   𝑦,𝑙,𝑢   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑙)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑢,𝑙)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑙)

Proof of Theorem axcaucvglemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pitonn 7016	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ N → ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ∈ ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)})
2		axcaucvglemcl.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
3	1, 2	syl6eleqr 2172	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ N → ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ∈ 𝑁)
4		axcaucvglemcl.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑁⟶ℝ)
5	4	ffvelrnda 5323	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩ ∈ 𝑁) → (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 280	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) ∈ ℝ)
7		elrealeu 6998	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) ∈ ℝ ↔ ∃!𝑧 ∈ R ⟨𝑧, 0R⟩ = (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩))
8	6, 7	sylib 120	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ∃!𝑧 ∈ R ⟨𝑧, 0R⟩ = (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩))
9		eqcom 2083	. . . 4 ⊢ (⟨𝑧, 0R⟩ = (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) ↔ (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨𝑧, 0R⟩)
10	9	reubii 2539	. . 3 ⊢ (∃!𝑧 ∈ R ⟨𝑧, 0R⟩ = (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) ↔ ∃!𝑧 ∈ R (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨𝑧, 0R⟩)
11	8, 10	sylib 120	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ∃!𝑧 ∈ R (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨𝑧, 0R⟩)
12		riotacl 5502	. 2 ⊢ (∃!𝑧 ∈ R (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨𝑧, 0R⟩ → (℩𝑧 ∈ R (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨𝑧, 0R⟩) ∈ R)
13	11, 12	syl 14	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (℩𝑧 ∈ R (𝐹‘⟨[⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐽, 1𝑜⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R , 0R⟩) = ⟨𝑧, 0R⟩) ∈ R)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  {cab 2067  ∀wral 2348  ∃!wreu 2350  ⟨cop 3401  ∩ cint 3636   class class class wbr 3785  ⟶wf 4918  ‘cfv 4922  ℩crio 5487  (class class class)co 5532  1_𝑜c1o 6017  [cec 6127  Ncnpi 6462   ~_Q ceq 6469   <_Q cltq 6475  1_Pc1p 6482   +_P cpp 6483   ~_R cer 6486  Rcnr 6487  0_Rc0r 6488  ℝcr 6980  1c1 6982   + caddc 6984

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-2o 6025  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-1nqqs 6541  df-rq 6542  df-ltnqqs 6543  df-enq0 6614  df-nq0 6615  df-0nq0 6616  df-plq0 6617  df-mq0 6618  df-inp 6656  df-i1p 6657  df-iplp 6658  df-enr 6903  df-nr 6904  df-plr 6905  df-0r 6908  df-1r 6909  df-c 6987  df-1 6989  df-r 6991  df-add 6992

This theorem is referenced by:  axcaucvglemf  7062  axcaucvglemval  7063