Theorem en2eqpr 6380

Description: Building a set with two elements. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2eqpr	⊢ ((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem en2eqpr

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6251	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≈ 2𝑜 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜)
2	1	biimpi 118	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≈ 2𝑜 → ∃𝑓 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜)
3	2	3ad2ant1 959	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ∃𝑓 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜)
4	3	adantr 270	. . 3 ⊢ (((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜)
5		simplr 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → (𝑓‘𝑥) = ∅)
6		simpr 108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → (𝑓‘𝐵) = ∅)
7	5, 6	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵))
8		f1of1 5145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜 → 𝑓:𝐶–1-1→2𝑜)
9	8	adantl 271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → 𝑓:𝐶–1-1→2𝑜)
10	9	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑓:𝐶–1-1→2𝑜)
11		simpr 108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
12		simpll3 979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → 𝐵 ∈ 𝐶)
13	12	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝐶)
14		f1fveq 5432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:𝐶–1-1→2𝑜 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
15	10, 11, 13, 14	syl12anc 1167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
16	15	ad2antrr 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
17	7, 16	mpbid 145	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → 𝑥 = 𝐵)
18		prid2g 3497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
19	13, 18	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
20	19	ad2antrr 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
21	17, 20	eqeltrd 2155	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
22		simpllr 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝑥) = ∅)
23		simpr 108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝐴) = ∅)
24	22, 23	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴))
25		simpll2 978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → 𝐴 ∈ 𝐶)
26	25	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶)
27		f1fveq 5432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝐶–1-1→2𝑜 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶)) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
28	10, 11, 26, 27	syl12anc 1167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
29	28	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
30	24, 29	mpbid 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → 𝑥 = 𝐴)
31		prid1g 3496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
32	26, 31	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
33	32	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
34	30, 33	eqeltrd 2155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
35		simpr 108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → (𝑓‘𝐴) = 1𝑜)
36		simplr 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → (𝑓‘𝐵) = 1𝑜)
37	35, 36	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵))
38		simplr 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → 𝐴 ≠ 𝐵)
39	38	neneqd 2266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
40		f1fveq 5432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝐶–1-1→2𝑜 ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → ((𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
41	9, 25, 12, 40	syl12anc 1167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → ((𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
42	39, 41	mtbird 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → ¬ (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵))
43	42	ad4antr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → ¬ (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵))
44	37, 43	pm2.21dd 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
45		f1of 5146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜 → 𝑓:𝐶⟶2𝑜)
46	45	adantl 271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → 𝑓:𝐶⟶2𝑜)
47	46, 25	ffvelrnd 5324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → (𝑓‘𝐴) ∈ 2𝑜)
48		elpri 3421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓‘𝐴) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑓‘𝐴) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜))
49		df2o3 6037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
50	48, 49	eleq2s 2173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝐴) ∈ 2𝑜 → ((𝑓‘𝐴) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜))
51	47, 50	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → ((𝑓‘𝐴) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜))
52	51	ad3antrrr 475	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) → ((𝑓‘𝐴) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜))
53	34, 44, 52	mpjaodan 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
54	46, 12	ffvelrnd 5324	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → (𝑓‘𝐵) ∈ 2𝑜)
55		elpri 3421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝐵) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑓‘𝐵) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜))
56	55, 49	eleq2s 2173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓‘𝐵) ∈ 2𝑜 → ((𝑓‘𝐵) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜))
57	54, 56	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → ((𝑓‘𝐵) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜))
58	57	ad2antrr 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) → ((𝑓‘𝐵) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜))
59	21, 53, 58	mpjaodan 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
60		simpr 108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝐴) = ∅)
61		simplr 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝐵) = ∅)
62	60, 61	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵))
63	42	ad4antr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → ¬ (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵))
64	62, 63	pm2.21dd 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
65		simpllr 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → (𝑓‘𝑥) = 1𝑜)
66		simpr 108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → (𝑓‘𝐴) = 1𝑜)
67	65, 66	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴))
68	28	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
69	67, 68	mpbid 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → 𝑥 = 𝐴)
70	32	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
71	69, 70	eqeltrd 2155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
72	51	ad3antrrr 475	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → ((𝑓‘𝐴) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜))
73	64, 71, 72	mpjaodan 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
74		simplr 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) → (𝑓‘𝑥) = 1𝑜)
75		simpr 108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) → (𝑓‘𝐵) = 1𝑜)
76	74, 75	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵))
77	15	ad2antrr 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
78	76, 77	mpbid 145	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) → 𝑥 = 𝐵)
79	19	ad2antrr 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
80	78, 79	eqeltrd 2155	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
81	57	ad2antrr 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) → ((𝑓‘𝐵) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜))
82	73, 80, 81	mpjaodan 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
83	46	ffvelrnda 5323	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑓‘𝑥) ∈ 2𝑜)
84		elpri 3421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑓‘𝑥) = ∅ ∨ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜))
85	84, 49	eleq2s 2173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ 2𝑜 → ((𝑓‘𝑥) = ∅ ∨ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜))
86	83, 85	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑓‘𝑥) = ∅ ∨ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜))
87	59, 82, 86	mpjaodan 744	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
88	87	ex 113	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}))
89	88	ssrdv 3005	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → 𝐶 ⊆ {𝐴, 𝐵})
90		prssi 3543	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
91	25, 12, 90	syl2anc 403	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
92	89, 91	eqssd 3016	. . 3 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → 𝐶 = {𝐴, 𝐵})
93	4, 92	exlimddv 1819	. 2 ⊢ (((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐶 = {𝐴, 𝐵})
94	93	ex 113	1 ⊢ ((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 661   ∧ w3a 919   = wceq 1284  ∃wex 1421   ∈ wcel 1433   ≠ wne 2245   ⊆ wss 2973  ∅c0 3251  {cpr 3399   class class class wbr 3785  ⟶wf 4918  –1-1→wf1 4919  –1-1-onto→wf1o 4921  ‘cfv 4922  1_𝑜c1o 6017  2_𝑜c2o 6018   ≈ cen 6242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-suc 4126  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-1o 6024  df-2o 6025  df-en 6245

This theorem is referenced by:  isprm2lem  10498