Theorem nqnq0 6631

Description: A positive fraction is a non-negative fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqnq0	⊢ Q ⊆ Q0

Proof of Theorem nqnq0

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 6538	. . . . 5 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2	1	eleq2i 2145	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ Q ↔ 𝑦 ∈ ((N × N) / ~Q ))
3		vex 2604	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
4	3	elqs 6180	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ ∃𝑥 ∈ (N × N)𝑦 = [𝑥] ~Q )
5		df-rex 2354	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ (N × N)𝑦 = [𝑥] ~Q ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 = [𝑥] ~Q ))
6	2, 4, 5	3bitri 204	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ Q ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 = [𝑥] ~Q ))
7		elxpi 4379	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (N × N) → ∃𝑢∃𝑣(𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)))
8		nqnq0pi 6628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q0 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q )
9	8	adantl 271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q0 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q )
10		eceq1 6164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → [𝑥] ~Q0 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q0 )
11		eceq1 6164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → [𝑥] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q )
12	10, 11	eqeq12d 2095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ([𝑥] ~Q0 = [𝑥] ~Q ↔ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q0 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ))
13	12	adantr 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ([𝑥] ~Q0 = [𝑥] ~Q ↔ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q0 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ))
14	9, 13	mpbird 165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → [𝑥] ~Q0 = [𝑥] ~Q )
15		pinn 6499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ N → 𝑢 ∈ ω)
16		opelxpi 4394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ω × N))
17	15, 16	sylan 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ω × N))
18	17	adantl 271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ω × N))
19		eleq1 2141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝑥 ∈ (ω × N) ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ω × N)))
20	19	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (𝑥 ∈ (ω × N) ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ω × N)))
21	18, 20	mpbird 165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → 𝑥 ∈ (ω × N))
22		enq0ex 6629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ~Q0 ∈ V
23	22	ecelqsi 6183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ω × N) → [𝑥] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
24		df-nq0 6615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
25	23, 24	syl6eleqr 2172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ω × N) → [𝑥] ~Q0 ∈ Q0)
26	21, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → [𝑥] ~Q0 ∈ Q0)
27	14, 26	eqeltrrd 2156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → [𝑥] ~Q ∈ Q0)
28	27	exlimivv 1817	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑢∃𝑣(𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → [𝑥] ~Q ∈ Q0)
29	7, 28	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (N × N) → [𝑥] ~Q ∈ Q0)
30	29	adantr 270	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 = [𝑥] ~Q ) → [𝑥] ~Q ∈ Q0)
31		eleq1 2141	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = [𝑥] ~Q → (𝑦 ∈ Q0 ↔ [𝑥] ~Q ∈ Q0))
32	31	adantl 271	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 = [𝑥] ~Q ) → (𝑦 ∈ Q0 ↔ [𝑥] ~Q ∈ Q0))
33	30, 32	mpbird 165	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 = [𝑥] ~Q ) → 𝑦 ∈ Q0)
34	33	exlimiv 1529	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ (N × N) ∧ 𝑦 = [𝑥] ~Q ) → 𝑦 ∈ Q0)
35	6, 34	sylbi 119	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ Q → 𝑦 ∈ Q0)
36	35	ssriv 3003	1 ⊢ Q ⊆ Q0

Syntax hints:   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284  ∃wex 1421   ∈ wcel 1433  ∃wrex 2349   ⊆ wss 2973  ⟨cop 3401  ωcom 4331   × cxp 4361  [cec 6127   / cqs 6128  Ncnpi 6462   ~_Q ceq 6469  Qcnq 6470   ~_Q0 ceq0 6476  Q₀cnq0 6477

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-mi 6496  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-enq0 6614  df-nq0 6615

This theorem is referenced by:  prarloclem5  6690  prarloclemcalc  6692