Theorem prarloclemcalc 6692

Description: Some calculations for prarloc 6693. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemcalc	⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 <Q (𝐴 +Q 𝑃))

Proof of Theorem prarloclemcalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprll 503	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑄 ∈ Q)
2		nqnq0a 6644	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → (𝑄 +Q 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
3	1, 1, 2	syl2anc 403	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
4	3	oveq2d 5548	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
5		simpll 495	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6		simprrl 505	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑋 ∈ Q)
7		simprrr 506	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑀 ∈ ω)
8		1pi 6505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1𝑜 ∈ N
9		opelxpi 4394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ N) → ⟨𝑀, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N))
10	8, 9	mpan2 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ω → ⟨𝑀, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N))
11		enq0ex 6629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ~Q0 ∈ V
12	11	ecelqsi 6183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑀, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N) → [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
14		df-nq0 6615	. . . . . . . . 9 ⊢ Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
15	13, 14	syl6eleqr 2172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ Q0)
16	7, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ Q0)
17		nqnq0 6631	. . . . . . . 8 ⊢ Q ⊆ Q0
18	17, 1	sseldi 2997	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑄 ∈ Q0)
19		mulclnq0 6642	. . . . . . 7 ⊢ (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ Q0 ∧ 𝑄 ∈ Q0) → ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0)
20	16, 18, 19	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0)
21		nqpnq0nq 6643	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0) → (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∈ Q)
22	6, 20, 21	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∈ Q)
23	5, 22	eqeltrd 2155	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐴 ∈ Q)
24		addclnq 6565	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q)
25	1, 1, 24	syl2anc 403	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q)
26		nqnq0a 6644	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)))
27	23, 25, 26	syl2anc 403	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)))
28		simplr 496	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
29		2onn 6117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
30		2on0 6033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2𝑜 ≠ ∅
31		elni 6498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2𝑜 ∈ N ↔ (2𝑜 ∈ ω ∧ 2𝑜 ≠ ∅))
32	29, 30, 31	mpbir2an 883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2𝑜 ∈ N
33		nnppipi 6533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 2𝑜 ∈ N) → (𝑀 +𝑜 2𝑜) ∈ N)
34	32, 33	mpan2 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ω → (𝑀 +𝑜 2𝑜) ∈ N)
35		opelxpi 4394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 +𝑜 2𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → ⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
36	34, 8, 35	sylancl 404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ω → ⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
37		enqex 6550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ~Q ∈ V
38	37	ecelqsi 6183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
39	36, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
40		df-nqqs 6538	. . . . . . . . . 10 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
41	39, 40	syl6eleqr 2172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q)
42	7, 41	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q)
43		mulclnq 6566	. . . . . . . 8 ⊢ (([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q)
44	42, 1, 43	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q)
45		nqnq0a 6644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q) → (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
46	6, 44, 45	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
47		nqnq0m 6645	. . . . . . . . 9 ⊢ (([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
48	42, 1, 47	syl2anc 403	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
49		nqnq0pi 6628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 +𝑜 2𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
50	34, 8, 49	sylancl 404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
51	7, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
52	51	oveq1d 5547	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
53	48, 52	eqtr4d 2116	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))
54	53	oveq2d 5548	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
55	28, 46, 54	3eqtrd 2117	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
56		nnanq0 6648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 2𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ N) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
57	8, 56	mp3an3 1257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 2𝑜 ∈ ω) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
58	7, 29, 57	sylancl 404	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
59	58	oveq1d 5547	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄))
60		opelxpi 4394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ N) → ⟨2𝑜, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N))
61	29, 8, 60	mp2an 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨2𝑜, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N)
62	11	ecelqsi 6183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨2𝑜, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N) → [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
63	61, 62	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 ⊢ [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )
64	63, 14	eleqtrri 2154	. . . . . . . . 9 ⊢ [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ Q0
65		distnq0r 6653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ Q0 ∧ [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ Q0 ∧ [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ Q0) → (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
66	64, 65	mp3an3 1257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ Q0 ∧ [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ Q0) → (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
67	18, 16, 66	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
68	59, 67	eqtrd 2113	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
69	68	oveq2d 5548	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))))
70		nq02m 6655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ Q0 → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
71	70	oveq2d 5548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ Q0 → (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
72	71	oveq2d 5548	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ Q0 → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
73	18, 72	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
74	17, 6	sseldi 2997	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑋 ∈ Q0)
75		addclnq0 6641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ Q0 ∧ 𝑄 ∈ Q0) → (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0)
76	18, 18, 75	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0)
77		addassnq0 6652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ Q0 ∧ ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0 ∧ (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0) → ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
78	74, 20, 76, 77	syl3anc 1169	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
79	73, 78	eqtr4d 2116	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
80	55, 69, 79	3eqtrd 2117	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
81		oveq1 5539	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) → (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
82	81	eqeq2d 2092	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) → (𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) ↔ 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
83	5, 82	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) ↔ 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
84	80, 83	mpbird 165	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
85	4, 27, 84	3eqtr4rd 2124	. 2 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)))
86		simprlr 504	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃)
87		ltrelnq 6555	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
88	87	brel 4410	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 → ((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q))
89	86, 88	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q))
90		ltanqg 6590	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
91	90	3expa 1138	. . . 4 ⊢ ((((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ 𝐴 ∈ Q) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
92	89, 23, 91	syl2anc 403	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
93	86, 92	mpbid 145	. 2 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃))
94	85, 93	eqbrtrd 3805	1 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 <Q (𝐴 +Q 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   ≠ wne 2245  ∅c0 3251  ⟨cop 3401   class class class wbr 3785  ωcom 4331   × cxp 4361  (class class class)co 5532  1_𝑜c1o 6017  2_𝑜c2o 6018   +_𝑜 coa 6021  [cec 6127   / cqs 6128  Ncnpi 6462   ~_Q ceq 6469  Qcnq 6470   +_Q cplq 6472   ·_Q cmq 6473   <_Q cltq 6475   ~_Q0 ceq0 6476  Q₀cnq0 6477   +_Q0 cplq0 6479   ·_Q0 cmq0 6480

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-2o 6025  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-ltnqqs 6543  df-enq0 6614  df-nq0 6615  df-plq0 6617  df-mq0 6618

This theorem is referenced by:  prarloc  6693