Theorem ex-fac 10565

Description: Example for df-fac 9653. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8101	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 5201	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 8307	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 9657	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2101	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 9660	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 8168	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 5544	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 8308	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 8305	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2081	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 8303	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 8304	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 8119	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 8110	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 8576	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 7126	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addid2i 7251	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 8536	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 8117	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 8578	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 7126	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 8541	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2101	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2101	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   · cmul 6986  2c2 8089  4c4 8091  5c5 8092  ℕ₀cn0 8288  ;cdc 8477  !cfa 9652

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-5 8101  df-6 8102  df-7 8103  df-8 8104  df-9 8105  df-n0 8289  df-z 8352  df-dec 8478  df-uz 8620  df-iseq 9432  df-fac 9653

This theorem is referenced by: (None)