Theorem opelxpi 4394

Description: Ordered pair membership in a cross product (implication). (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opelxpi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem opelxpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4392	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
2	1	biimpri 131	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1433  ⟨cop 3401   × cxp 4361

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-opab 3840  df-xp 4369

This theorem is referenced by:  opelvvg  4407  opelvv  4408  opbrop  4437  fliftrel  5452  fnotovb  5568  ovi3  5657  ovres  5660  fovrn  5663  fnovrn  5668  ovconst2  5672  oprab2co  5859  1stconst  5862  2ndconst  5863  f1od2  5876  brdifun  6156  ecopqsi  6184  brecop  6219  th3q  6234  xpcomco  6323  addpiord  6506  mulpiord  6507  enqeceq  6549  1nq  6556  addpipqqslem  6559  mulpipq  6562  mulpipqqs  6563  addclnq  6565  mulclnq  6566  recexnq  6580  ltexnqq  6598  prarloclemarch  6608  prarloclemarch2  6609  nnnq  6612  enq0breq  6626  enq0eceq  6627  nqnq0  6631  addnnnq0  6639  mulnnnq0  6640  addclnq0  6641  mulclnq0  6642  nqpnq0nq  6643  prarloclemlt  6683  prarloclemlo  6684  prarloclemcalc  6692  genpelxp  6701  nqprm  6732  ltexprlempr  6798  recexprlempr  6822  cauappcvgprlemcl  6843  cauappcvgprlemladd  6848  caucvgprlemcl  6866  caucvgprprlemcl  6894  enreceq  6913  addsrpr  6922  mulsrpr  6923  0r  6927  1sr  6928  m1r  6929  addclsr  6930  mulclsr  6931  prsrcl  6960  addcnsr  7002  mulcnsr  7003  addcnsrec  7010  mulcnsrec  7011  pitonnlem2  7015  pitonn  7016  pitore  7018  recnnre  7019  axaddcl  7032  axmulcl  7034  xrlenlt  7177  cnrecnv  9797  eucalgf  10437  eucialg  10441  qredeu  10479