Theorem opeq1 3570

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem opeq1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2141	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
2	1	anbi1d 452	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)))
3		sneq 3409	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
4		preq1 3469	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐶})
5	3, 4	preq12d 3477	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}} = {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})
6	5	eleq2d 2148	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}} ↔ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}))
7	2, 6	anbi12d 456	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})))
8		df-3an 921	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}))
9		df-3an 921	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}) ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}))
10	7, 8, 9	3bitr4g 221	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})))
11	10	abbidv 2196	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}})} = {𝑥 ∣ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})})
12		df-op 3407	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐶⟩ = {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}})}
13		df-op 3407	. 2 ⊢ ⟨𝐵, 𝐶⟩ = {𝑥 ∣ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})}
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2138	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  {cab 2067  Vcvv 2601  {csn 3398  {cpr 3399  ⟨cop 3401

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407

This theorem is referenced by:  opeq12  3572  opeq1i  3573  opeq1d  3576  oteq1  3579  breq1  3788  cbvopab1  3851  cbvopab1s  3853  opthg  3993  eqvinop  3998  opelopabsb  4015  opelxp  4392  elvvv  4421  opabid2  4485  opeliunxp2  4494  elsnres  4665  elimasng  4713  rnxpid  4775  dmsnopg  4812  cnvsng  4826  elxp4  4828  elxp5  4829  funopg  4954  f1osng  5187  dmfco  5262  fvelrn  5319  fsng  5357  fvsng  5380  funfvima3  5413  oveq1  5539  oprabid  5557  dfoprab2  5572  cbvoprab1  5596  opabex3d  5768  opabex3  5769  op1stg  5797  op2ndg  5798  dfoprab4f  5839  cnvoprab  5875  fundmen  6309  xpsnen  6318  xpassen  6327  ltexnqq  6598  archnqq  6607  prarloclemarch2  6609  prarloclemlo  6684  prarloclem3  6687  prarloclem5  6690  caucvgprlemnkj  6856  caucvgprlemnbj  6857  caucvgprlemm  6858  caucvgprlemdisj  6864  caucvgprlemloc  6865  caucvgprlemcl  6866  caucvgprlemladdfu  6867  caucvgprlemladdrl  6868  caucvgprlem1  6869  caucvgprlem2  6870  caucvgpr  6872  caucvgprprlemell  6875  caucvgprprlemelu  6876  caucvgprprlemcbv  6877  caucvgprprlemval  6878  caucvgprprlemnkeqj  6880  caucvgprprlemmu  6885  caucvgprprlemopl  6887  caucvgprprlemlol  6888  caucvgprprlemopu  6889  caucvgprprlemloc  6893  caucvgprprlemclphr  6895  caucvgprprlemexbt  6896  caucvgprprlem1  6899  caucvgprprlem2  6900  caucvgsr  6978  elrealeu  6998  pitonn  7016  nntopi  7060  axcaucvglemval  7063  axcaucvg  7066