Theorem prarloclemlo 6684

Description: Contracting the lower side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 6693. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemlo	⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐿   𝑦,𝑃   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋

Proof of Theorem prarloclemlo

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaass 6087	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ℎ ∈ ω) → ((𝑓 +𝑜 𝑔) +𝑜 ℎ) = (𝑓 +𝑜 (𝑔 +𝑜 ℎ)))
2	1	adantl 271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ℎ ∈ ω)) → ((𝑓 +𝑜 𝑔) +𝑜 ℎ) = (𝑓 +𝑜 (𝑔 +𝑜 ℎ)))
3		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
4		1onn 6116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
5		nnacl 6082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
6	3, 4, 5	sylancl 404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ ω)
7		2onn 6117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 2𝑜 ∈ ω)
9		simpll 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑋 ∈ ω)
10	2, 6, 8, 9	caovassd 5680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) = ((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 (2𝑜 +𝑜 𝑋)))
11	4	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 1𝑜 ∈ ω)
12		nnacom 6086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 +𝑜 𝑔) = (𝑔 +𝑜 𝑓))
13	12	adantl 271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 +𝑜 𝑔) = (𝑔 +𝑜 𝑓))
14		nnacl 6082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 +𝑜 𝑔) ∈ ω)
15	14	adantl 271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 +𝑜 𝑔) ∈ ω)
16	3, 8, 11, 13, 2, 9, 15	caov4d 5705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 (1𝑜 +𝑜 𝑋)) = ((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 (2𝑜 +𝑜 𝑋)))
17	13, 11, 9	caovcomd 5677	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1𝑜 +𝑜 𝑋) = (𝑋 +𝑜 1𝑜))
18		nnon 4350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ ω → 𝑋 ∈ On)
19		oa1suc 6070	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ On → (𝑋 +𝑜 1𝑜) = suc 𝑋)
20	9, 18, 19	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑋 +𝑜 1𝑜) = suc 𝑋)
21	17, 20	eqtrd 2113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (1𝑜 +𝑜 𝑋) = suc 𝑋)
22	21	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 (1𝑜 +𝑜 𝑋)) = ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋))
23	10, 16, 22	3eqtr2rd 2120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋) = (((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
24	23	opeq1d 3576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩ = ⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩)
25	24	eceq1d 6165	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
26	25	oveq1d 5547	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
27	26	oveq2d 5548	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
28	27	eleq1d 2147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
29	28	biimpd 142	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 → (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
30		simplr1 980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
31		simplr2 981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴 ∈ 𝐿)
32		elprnql 6671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ Q)
33	30, 31, 32	syl2anc 403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐴 ∈ Q)
34		1pi 6505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1𝑜 ∈ N
35		nnppipi 6533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ N) → (𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ N)
36	3, 34, 35	sylancl 404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ N)
37		opelxpi 4394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → ⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
38	34, 37	mpan2 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ N → ⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
39		enqex 6550	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ~Q ∈ V
40	39	ecelqsi 6183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
41		df-nqqs 6538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
42	40, 41	syl6eleqr 2172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q)
43	36, 38, 42	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q)
44		simplr3 982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑃 ∈ Q)
45		mulclnq 6566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
46	43, 44, 45	syl2anc 403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q)
47		nqnq0a 6644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) ∈ Q) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
48	33, 46, 47	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
49		nqnq0m 6645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑃))
50	43, 44, 49	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑃))
51		nqnq0pi 6628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
52	36, 34, 51	sylancl 404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
53	52	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑃))
54	50, 53	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
55	54	oveq2d 5548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
56	48, 55	eqtrd 2113	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
57	56	eleq1d 2147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
58	57	anbi1d 452	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
59		opeq1 3570	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ⟨𝑧, 1𝑜⟩ = ⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩)
60	59	eceq1d 6165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 )
61	60	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
62	61	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
63	62	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
64		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → (𝑧 +𝑜 2𝑜) = ((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜))
65	64	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) = (((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
66	65	opeq1d 3576	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩ = ⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩)
67	66	eceq1d 6165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → [⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
68	67	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
69	68	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
70	69	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
71	63, 70	anbi12d 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑦 +𝑜 1𝑜) → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
72	71	rspcev 2701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ ω ∧ ((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
73	72	ex 113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 +𝑜 1𝑜) ∈ ω → (((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
74	6, 73	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q0 ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
75	58, 74	sylbid 148	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
76		opeq1 3570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ⟨𝑧, 1𝑜⟩ = ⟨𝑦, 1𝑜⟩)
77	76	eceq1d 6165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → [⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 )
78	77	oveq1d 5547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
79	78	oveq2d 5548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
80	79	eleq1d 2147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
81		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 +𝑜 2𝑜) = (𝑦 +𝑜 2𝑜))
82	81	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) = ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
83	82	opeq1d 3576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩ = ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩)
84	83	eceq1d 6165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → [⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
85	84	oveq1d 5547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
86	85	oveq2d 5548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
87	86	eleq1d 2147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
88	80, 87	anbi12d 456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
89	88	cbvrexv 2578	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑧 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
90	75, 89	syl6ib 159	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(((𝑦 +𝑜 1𝑜) +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
91	29, 90	sylan2d 288	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
92	91	expdimp 255	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
93	92	adantld 272	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿) → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
94	93	ex 113	1 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∃wrex 2349  ⟨cop 3401  Oncon0 4118  suc csuc 4120  ωcom 4331   × cxp 4361  (class class class)co 5532  1_𝑜c1o 6017  2_𝑜c2o 6018   +_𝑜 coa 6021  [cec 6127   / cqs 6128  Ncnpi 6462   ~_Q ceq 6469  Qcnq 6470   +_Q cplq 6472   ·_Q cmq 6473   ~_Q0 ceq0 6476   +_Q0 cplq0 6479   ·_Q0 cmq0 6480  Pcnp 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-2o 6025  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-enq0 6614  df-nq0 6615  df-plq0 6617  df-mq0 6618  df-inp 6656

This theorem is referenced by:  prarloclem3step  6686