Theorem rebtwn2zlemshrink 9262

Description: Lemma for rebtwn2z 9263. Shrinking the range around the given real number. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rebtwn2zlemshrink	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑥   𝑚,𝐽

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rebtwn2zlemshrink

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 939	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘2))
2		3simpb 936	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
3		2z 8379	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		oveq2 5540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 2 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 2))
5	4	breq2d 3797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 2 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 2)))
6	5	anbi2d 451	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 2 → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2))))
7	6	rexbidv 2369	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 2 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2))))
8	7	anbi2d 451	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 2 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2)))))
9	8	imbi1d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 2 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))))
10		oveq2 5540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 𝑘))
11	10	breq2d 3797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))
12	11	anbi2d 451	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
13	12	rexbidv 2369	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
14	13	anbi2d 451	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))))
15	14	imbi1d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))))
16		oveq2 5540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + (𝑘 + 1)))
17	16	breq2d 3797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))))
18	17	anbi2d 451	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))))
19	18	rexbidv 2369	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))))
20	19	anbi2d 451	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))))))
21	20	imbi1d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))))
22		oveq2 5540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → (𝑚 + 𝑤) = (𝑚 + 𝐽))
23	22	breq2d 3797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → (𝐴 < (𝑚 + 𝑤) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽)))
24	23	anbi2d 451	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
25	24	rexbidv 2369	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))))
26	25	anbi2d 451	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽)))))
27	26	imbi1d 229	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐽 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))))
28		breq1 3788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 < 𝐴 ↔ 𝑥 < 𝐴))
29		oveq1 5539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 2) = (𝑥 + 2))
30	29	breq2d 3797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝐴 < (𝑚 + 2) ↔ 𝐴 < (𝑥 + 2)))
31	28, 30	anbi12d 456	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2)) ↔ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))))
32	31	cbvrexv 2578	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))
33	32	biimpi 118	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))
34	33	adantl 271	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 2))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))
35		rebtwn2zlemstep 9261	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))
36	35	3expia 1140	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘))))
37	36	imdistanda 436	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘)))))
38	37	imim1d 74	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝑘))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝑘 + 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))))
39	3, 9, 15, 21, 27, 34, 38	uzind4i 8680	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2))))
40	1, 2, 39	sylc 61	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐽))) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∃wrex 2349   class class class wbr 3785  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℝcr 6980  1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153  2c2 8089  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620

This theorem is referenced by:  rebtwn2z  9263