Theorem subsq2 9582

Description: Express the difference of the squares of two numbers as a polynomial in the difference of the numbers. (Contributed by NM, 21-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
subsq2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = (((𝐴 − 𝐵)↑2) + ((2 · 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))

Proof of Theorem subsq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 8110	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		mulcl 7100	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
4	3	adantl 271	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd23 7320	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + (2 · 𝐵)) = (𝐴 + ((2 · 𝐵) − 𝐵)))
6	4, 5	mpd3an3 1269	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + (2 · 𝐵)) = (𝐴 + ((2 · 𝐵) − 𝐵)))
7		2times 8160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
8	7	oveq1d 5547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) − 𝐵) = ((𝐵 + 𝐵) − 𝐵))
9		pncan 7314	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
10	9	anidms 389	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
11	8, 10	eqtrd 2113	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
12	11	adantl 271	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
13	12	oveq2d 5548	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + ((2 · 𝐵) − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
14	6, 13	eqtrd 2113	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + (2 · 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
15	14	oveq1d 5547	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 𝐵) + (2 · 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
16		subcl 7307	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
17	16, 4, 16	adddird 7144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 𝐵) + (2 · 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) + ((2 · 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
18	15, 17	eqtr3d 2115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) + ((2 · 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
19		subsq 9581	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
20		sqval 9534	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 − 𝐵)↑2) = ((𝐴 − 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
21	16, 20	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) = ((𝐴 − 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
22	21	oveq1d 5547	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 − 𝐵)↑2) + ((2 · 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) = (((𝐴 − 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) + ((2 · 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
23	18, 19, 22	3eqtr4d 2123	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = (((𝐴 − 𝐵)↑2) + ((2 · 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  (class class class)co 5532  ℂcc 6979   + caddc 6984   · cmul 6986   − cmin 7279  2c2 8089  ↑cexp 9475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-iseq 9432  df-iexp 9476

This theorem is referenced by: (None)