Theorem 2basgen 20794

Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2basgen	|- ( ( B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) = ( topGen ` C ) )

Proof of Theorem 2basgen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6201	. . . . 5 |- ( topGen ` B ) e. _V
2	1	ssex 4802	. . . 4 |- ( C C_ ( topGen ` B ) -> C e. _V )
3	2	adantl 482	. . 3 |- ( ( B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> C e. _V )
4		simpl 473	. . 3 |- ( ( B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> B C_ C )
5		tgss 20772	. . 3 |- ( ( C e. _V /\ B C_ C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 693	. 2 |- ( ( B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) )
7		simpr 477	. . 3 |- ( ( B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> C C_ ( topGen ` B ) )
8		ssexg 4804	. . . . 5 |- ( ( B C_ C /\ C e. _V ) -> B e. _V )
9	2, 8	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> B e. _V )
10		tgss3 20790	. . . 4 |- ( ( C e. _V /\ B e. _V ) -> ( ( topGen ` C ) C_ ( topGen ` B ) <-> C C_ ( topGen ` B ) ) )
11	3, 9, 10	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( ( topGen ` C ) C_ ( topGen ` B ) <-> C C_ ( topGen ` B ) ) )
12	7, 11	mpbird 247	. 2 |- ( ( B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` C ) C_ ( topGen ` B ) )
13	6, 12	eqssd 3620	1 |- ( ( B C_ C /\ C C_ ( topGen ` B ) ) -> ( topGen ` B ) = ( topGen ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ` cfv 5888   topGenctg 16098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104

This theorem is referenced by:  leordtval2  21016  2ndcsb  21252  txbasval  21409  prdsxmslem2  22334  tgioo  22599  tgqioo  22603