Theorem 2lplnmj 34908

Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lplnmj.j	|- .\/ = ( join ` K )
2lplnmj.m	|- ./\ = ( meet ` K )
2lplnmj.n	|- N = ( LLines ` K )
2lplnmj.p	|- P = ( LPlanes ` K )
2lplnmj.v	|- V = ( LVols ` K )

Assertion

Ref	Expression
2lplnmj	|- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )

Proof of Theorem 2lplnmj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> K e. HL )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
3		2lplnmj.p	. . . . 5 |- P = ( LPlanes ` K )
4	2, 3	lplnbase 34820	. . . 4 |- ( X e. P -> X e. ( Base ` K ) )
5	4	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X e. ( Base ` K ) )
6	2, 3	lplnbase 34820	. . . 4 |- ( Y e. P -> Y e. ( Base ` K ) )
7	6	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> Y e. ( Base ` K ) )
8		2lplnmj.j	. . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
9		2lplnmj.m	. . . 4 |- ./\ = ( meet ` K )
10		eqid 2622	. . . 4 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
11	2, 8, 9, 10	cvrexch 34706	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y <-> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
12	1, 5, 7, 11	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y <-> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
13		simpl1 1064	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> K e. HL )
14		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> ( X ./\ Y ) e. N )
15		simpl3 1066	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> Y e. P )
16		hllat 34650	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
17		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
18	2, 17, 9	latmle2 17077	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
19	16, 4, 6, 18	syl3an 1368	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
20	19	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
21		2lplnmj.n	. . . . 5 |- N = ( LLines ` K )
22	17, 10, 21, 3	llncvrlpln2 34843	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. N /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y ) -> ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y )
23	13, 14, 15, 20, 22	syl31anc 1329	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y )
24		simpl3 1066	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> Y e. P )
25	2, 9	latmcl 17052	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
26	16, 4, 6, 25	syl3an 1368	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
27	1, 26, 7	3jca 1242	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) )
28	2, 10, 21, 3	llncvrlpln 34844	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> Y e. P ) )
29	27, 28	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> Y e. P ) )
30	24, 29	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> ( X ./\ Y ) e. N )
31	23, 30	impbida 877	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) )
32		simpl1 1064	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> K e. HL )
33		simpl2 1065	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> X e. P )
34		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> ( X .\/ Y ) e. V )
35	2, 17, 8	latlej1 17060	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
36	16, 4, 6, 35	syl3an 1368	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
37	36	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
38		2lplnmj.v	. . . . 5 |- V = ( LVols ` K )
39	17, 10, 3, 38	lplncvrlvol2 34901	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ ( X .\/ Y ) e. V ) /\ X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) )
40	32, 33, 34, 37, 39	syl31anc 1329	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) )
41		simpl2 1065	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> X e. P )
42	2, 8	latjcl 17051	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) )
43	16, 4, 6, 42	syl3an 1368	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) )
44	1, 5, 43	3jca 1242	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) )
45	2, 10, 3, 38	lplncvrlvol 34902	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> ( X e. P <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )
46	44, 45	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> ( X e. P <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )
47	41, 46	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> ( X .\/ Y ) e. V )
48	40, 47	impbida 877	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X .\/ Y ) e. V <-> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
49	12, 31, 48	3bitr4d 300	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   joincjn 16944   meetcmee 16945   Latclat 17045   <o ccvr 34549   HLchlt 34637   LLinesclln 34777   LPlanesclpl 34778   LVolsclvol 34779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786

This theorem is referenced by:  dalem15  34964