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Theorem lplncvrlvol 34902
Description: An element covering a lattice plane is a lattice volume and vice-versa. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplncvrlvol.b |- B = ( Base ` K )
lplncvrlvol.c |- C = ( <o ` K )
lplncvrlvol.p |- P = ( LPlanes ` K )
lplncvrlvol.v |- V = ( LVols ` K )
Assertion
Ref Expression
lplncvrlvol |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> ( X e. P <-> Y e. V ) )
Proof of Theorem lplncvrlvol
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1100 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ X e. P ) -> K e. HL )
2 simpll3 1102 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ X e. P ) -> Y e. B )
3 simpr 477 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ X e. P ) -> X e. P )
4 simplr 792 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ X e. P ) -> X C Y )
5 lplncvrlvol.b . . . 4 |- B = ( Base ` K )
6 lplncvrlvol.c . . . 4 |- C = ( <o ` K )
7 lplncvrlvol.p . . . 4 |- P = ( LPlanes ` K )
8 lplncvrlvol.v . . . 4 |- V = ( LVols ` K )
95, 6, 7, 8lvoli 34861 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ Y e. B /\ X e. P ) /\ X C Y ) -> Y e. V )
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1329 . 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ X e. P ) -> Y e. V )
11 simpll1 1100 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> K e. HL )
12 simpll2 1101 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> X e. B )
13 hllat 34650 . . . . . . . 8 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
1411, 13syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> K e. Lat )
15 simpll3 1102 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> Y e. B )
16 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
175, 16latref 17053 . . . . . . 7 |- ( ( K e. Lat /\ Y e. B ) -> Y ( le ` K ) Y )
1814, 15, 17syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> Y ( le ` K ) Y )
1911adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) /\ Y e. ( Atoms ` K ) ) -> K e. HL )
20 simplr 792 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) /\ Y e. ( Atoms ` K ) ) -> Y e. V )
21 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) /\ Y e. ( Atoms ` K ) ) -> Y e. ( Atoms ` K ) )
22 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
2316, 22, 8lvolnleat 34869 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ Y e. V /\ Y e. ( Atoms ` K ) ) -> -. Y ( le ` K ) Y )
2419, 20, 21, 23syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) /\ Y e. ( Atoms ` K ) ) -> -. Y ( le ` K ) Y )
2524ex 450 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> ( Y e. ( Atoms ` K ) -> -. Y ( le ` K ) Y ) )
2618, 25mt2d 131 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> -. Y e. ( Atoms ` K ) )
27 simplr 792 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> X C Y )
28 breq1 4656 . . . . . . . 8 |- ( X = ( 0. ` K ) -> ( X C Y <-> ( 0. ` K ) C Y ) )
2927, 28syl5ibcom 235 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> ( X = ( 0. ` K ) -> ( 0. ` K ) C Y ) )
30 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
315, 30, 6, 22isat2 34574 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ Y e. B ) -> ( Y e. ( Atoms ` K ) <-> ( 0. ` K ) C Y ) )
3211, 15, 31syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> ( Y e. ( Atoms ` K ) <-> ( 0. ` K ) C Y ) )
3329, 32sylibrd 249 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> ( X = ( 0. ` K ) -> Y e. ( Atoms ` K ) ) )
3433necon3bd 2808 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> ( -. Y e. ( Atoms ` K ) -> X =/= ( 0. ` K ) ) )
3526, 34mpd 15 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> X =/= ( 0. ` K ) )
36 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( LLines ` K ) = ( LLines ` K )
3736, 8lvolnelln 34875 . . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ Y e. V ) -> -. Y e. ( LLines ` K ) )
3811, 37sylancom 701 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> -. Y e. ( LLines ` K ) )
3911adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) /\ X e. ( Atoms ` K ) ) -> K e. HL )
4015adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) /\ X e. ( Atoms ` K ) ) -> Y e. B )
41 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) /\ X e. ( Atoms ` K ) ) -> X e. ( Atoms ` K ) )
42 simpllr 799 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) /\ X e. ( Atoms ` K ) ) -> X C Y )
435, 6, 22, 36llni 34794 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ Y e. B /\ X e. ( Atoms ` K ) ) /\ X C Y ) -> Y e. ( LLines ` K ) )
4439, 40, 41, 42, 43syl31anc 1329 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) /\ X e. ( Atoms ` K ) ) -> Y e. ( LLines ` K ) )
4538, 44mtand 691 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> -. X e. ( Atoms ` K ) )
467, 8lvolnelpln 34876 . . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ Y e. V ) -> -. Y e. P )
4711, 46sylancom 701 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> -. Y e. P )
485, 6, 36, 7llncvrlpln 34844 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> ( X e. ( LLines ` K ) <-> Y e. P ) )
4948adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> ( X e. ( LLines ` K ) <-> Y e. P ) )
5047, 49mtbird 315 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> -. X e. ( LLines ` K ) )
515, 16, 30, 22, 36, 7lplnle 34826 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ ( X =/= ( 0. ` K ) /\ -. X e. ( Atoms ` K ) /\ -. X e. ( LLines ` K ) ) ) -> E. z e. P z ( le ` K ) X )
5211, 12, 35, 45, 50, 51syl23anc 1333 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> E. z e. P z ( le ` K ) X )
53 simpr3 1069 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. V /\ z e. P /\ z ( le ` K ) X ) ) -> z ( le ` K ) X )
54 simpll1 1100 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. V /\ z e. P /\ z ( le ` K ) X ) ) -> K e. HL )
55 hlop 34649 . . . . . . . . . 10 |- ( K e. HL -> K e. OP )
5654, 55syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. V /\ z e. P /\ z ( le ` K ) X ) ) -> K e. OP )
57 simpr2 1068 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. V /\ z e. P /\ z ( le ` K ) X ) ) -> z e. P )
585, 7lplnbase 34820 . . . . . . . . . 10 |- ( z e. P -> z e. B )
5957, 58syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. V /\ z e. P /\ z ( le ` K ) X ) ) -> z e. B )
60 simpll2 1101 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. V /\ z e. P /\ z ( le ` K ) X ) ) -> X e. B )
61 simpll3 1102 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. V /\ z e. P /\ z ( le ` K ) X ) ) -> Y e. B )
62 simpr1 1067 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. V /\ z e. P /\ z ( le ` K ) X ) ) -> Y e. V )
635, 16, 6cvrle 34565 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> X ( le ` K ) Y )
6463adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. V /\ z e. P /\ z ( le ` K ) X ) ) -> X ( le ` K ) Y )
65 hlpos 34652 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. HL -> K e. Poset )
6654, 65syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. V /\ z e. P /\ z ( le ` K ) X ) ) -> K e. Poset )
675, 16postr 16953 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. Poset /\ ( z e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( z ( le ` K ) X /\ X ( le ` K ) Y ) -> z ( le ` K ) Y ) )
6866, 59, 60, 61, 67syl13anc 1328 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. V /\ z e. P /\ z ( le ` K ) X ) ) -> ( ( z ( le ` K ) X /\ X ( le ` K ) Y ) -> z ( le ` K ) Y ) )
6953, 64, 68mp2and 715 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. V /\ z e. P /\ z ( le ` K ) X ) ) -> z ( le ` K ) Y )
7016, 6, 7, 8lplncvrlvol2 34901 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ z e. P /\ Y e. V ) /\ z ( le ` K ) Y ) -> z C Y )
7154, 57, 62, 69, 70syl31anc 1329 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. V /\ z e. P /\ z ( le ` K ) X ) ) -> z C Y )
72 simplr 792 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. V /\ z e. P /\ z ( le ` K ) X ) ) -> X C Y )
735, 16, 6cvrcmp2 34571 . . . . . . . . 9 |- ( ( K e. OP /\ ( z e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( z C Y /\ X C Y ) ) -> ( z ( le ` K ) X <-> z = X ) )
7456, 59, 60, 61, 71, 72, 73syl132anc 1344 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. V /\ z e. P /\ z ( le ` K ) X ) ) -> ( z ( le ` K ) X <-> z = X ) )
7553, 74mpbid 222 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. V /\ z e. P /\ z ( le ` K ) X ) ) -> z = X )
7675, 57eqeltrrd 2702 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. V /\ z e. P /\ z ( le ` K ) X ) ) -> X e. P )
77763exp2 1285 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> ( Y e. V -> ( z e. P -> ( z ( le ` K ) X -> X e. P ) ) ) )
7877imp 445 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> ( z e. P -> ( z ( le ` K ) X -> X e. P ) ) )
7978rexlimdv 3030 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> ( E. z e. P z ( le ` K ) X -> X e. P ) )
8052, 79mpd 15 . 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. V ) -> X e. P )
8110, 80impbida 877 1 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> ( X e. P <-> Y e. V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940   0.cp0 17037   Latclat 17045   OPcops 34459   <o ccvr 34549   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LLinesclln 34777   LPlanesclpl 34778   LVolsclvol 34779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786
This theorem is referenced by:  2lplnmj  34908
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