Theorem llncvrlpln 34844

Description: An element covering a lattice line is a lattice plane and vice-versa. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llncvrlpln.b	|- B = ( Base ` K )
llncvrlpln.c	|- C = ( <o ` K )
llncvrlpln.n	|- N = ( LLines ` K )
llncvrlpln.p	|- P = ( LPlanes ` K )

Assertion

Ref	Expression
llncvrlpln	|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> ( X e. N <-> Y e. P ) )

Proof of Theorem llncvrlpln

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1100	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ X e. N ) -> K e. HL )
2		simpll3 1102	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ X e. N ) -> Y e. B )
3		simpr 477	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ X e. N ) -> X e. N )
4		simplr 792	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ X e. N ) -> X C Y )
5		llncvrlpln.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
6		llncvrlpln.c	. . . 4 |- C = ( <o ` K )
7		llncvrlpln.n	. . . 4 |- N = ( LLines ` K )
8		llncvrlpln.p	. . . 4 |- P = ( LPlanes ` K )
9	5, 6, 7, 8	lplni 34818	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ Y e. B /\ X e. N ) /\ X C Y ) -> Y e. P )
10	1, 2, 3, 4, 9	syl31anc 1329	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ X e. N ) -> Y e. P )
11		simpll1 1100	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. P ) -> K e. HL )
12		simpll2 1101	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. P ) -> X e. B )
13		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
14	13, 8	lplnneat 34831	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ Y e. P ) -> -. Y e. ( Atoms ` K ) )
15	11, 14	sylancom 701	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. P ) -> -. Y e. ( Atoms ` K ) )
16		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. P ) -> X C Y )
17		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( X = ( 0. ` K ) -> ( X C Y <-> ( 0. ` K ) C Y ) )
18	16, 17	syl5ibcom 235	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. P ) -> ( X = ( 0. ` K ) -> ( 0. ` K ) C Y ) )
19		simpll3 1102	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. P ) -> Y e. B )
20		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
21	5, 20, 6, 13	isat2 34574	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ Y e. B ) -> ( Y e. ( Atoms ` K ) <-> ( 0. ` K ) C Y ) )
22	11, 19, 21	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. P ) -> ( Y e. ( Atoms ` K ) <-> ( 0. ` K ) C Y ) )
23	18, 22	sylibrd 249	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. P ) -> ( X = ( 0. ` K ) -> Y e. ( Atoms ` K ) ) )
24	23	necon3bd 2808	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. P ) -> ( -. Y e. ( Atoms ` K ) -> X =/= ( 0. ` K ) ) )
25	15, 24	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. P ) -> X =/= ( 0. ` K ) )
26	7, 8	lplnnelln 34832	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ Y e. P ) -> -. Y e. N )
27	11, 26	sylancom 701	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. P ) -> -. Y e. N )
28	5, 6, 13, 7	atcvrlln 34806	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> ( X e. ( Atoms ` K ) <-> Y e. N ) )
29	28	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. P ) -> ( X e. ( Atoms ` K ) <-> Y e. N ) )
30	27, 29	mtbird 315	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. P ) -> -. X e. ( Atoms ` K ) )
31		eqid 2622	. . . . 5 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
32	5, 31, 20, 13, 7	llnle 34804	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B ) /\ ( X =/= ( 0. ` K ) /\ -. X e. ( Atoms ` K ) ) ) -> E. z e. N z ( le ` K ) X )
33	11, 12, 25, 30, 32	syl22anc 1327	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. P ) -> E. z e. N z ( le ` K ) X )
34		simpr3 1069	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. P /\ z e. N /\ z ( le ` K ) X ) ) -> z ( le ` K ) X )
35		simpll1 1100	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. P /\ z e. N /\ z ( le ` K ) X ) ) -> K e. HL )
36		hlop 34649	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. HL -> K e. OP )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. P /\ z e. N /\ z ( le ` K ) X ) ) -> K e. OP )
38		simpr2 1068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. P /\ z e. N /\ z ( le ` K ) X ) ) -> z e. N )
39	5, 7	llnbase 34795	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. N -> z e. B )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. P /\ z e. N /\ z ( le ` K ) X ) ) -> z e. B )
41		simpll2 1101	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. P /\ z e. N /\ z ( le ` K ) X ) ) -> X e. B )
42		simpll3 1102	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. P /\ z e. N /\ z ( le ` K ) X ) ) -> Y e. B )
43		simpr1 1067	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. P /\ z e. N /\ z ( le ` K ) X ) ) -> Y e. P )
44	5, 31, 6	cvrle 34565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> X ( le ` K ) Y )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. P /\ z e. N /\ z ( le ` K ) X ) ) -> X ( le ` K ) Y )
46		hlpos 34652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. HL -> K e. Poset )
47	35, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. P /\ z e. N /\ z ( le ` K ) X ) ) -> K e. Poset )
48	5, 31	postr 16953	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. Poset /\ ( z e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( z ( le ` K ) X /\ X ( le ` K ) Y ) -> z ( le ` K ) Y ) )
49	47, 40, 41, 42, 48	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. P /\ z e. N /\ z ( le ` K ) X ) ) -> ( ( z ( le ` K ) X /\ X ( le ` K ) Y ) -> z ( le ` K ) Y ) )
50	34, 45, 49	mp2and 715	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. P /\ z e. N /\ z ( le ` K ) X ) ) -> z ( le ` K ) Y )
51	31, 6, 7, 8	llncvrlpln2 34843	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ z e. N /\ Y e. P ) /\ z ( le ` K ) Y ) -> z C Y )
52	35, 38, 43, 50, 51	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. P /\ z e. N /\ z ( le ` K ) X ) ) -> z C Y )
53		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. P /\ z e. N /\ z ( le ` K ) X ) ) -> X C Y )
54	5, 31, 6	cvrcmp2 34571	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. OP /\ ( z e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( z C Y /\ X C Y ) ) -> ( z ( le ` K ) X <-> z = X ) )
55	37, 40, 41, 42, 52, 53, 54	syl132anc 1344	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. P /\ z e. N /\ z ( le ` K ) X ) ) -> ( z ( le ` K ) X <-> z = X ) )
56	34, 55	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. P /\ z e. N /\ z ( le ` K ) X ) ) -> z = X )
57	56, 38	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ ( Y e. P /\ z e. N /\ z ( le ` K ) X ) ) -> X e. N )
58	57	3exp2 1285	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> ( Y e. P -> ( z e. N -> ( z ( le ` K ) X -> X e. N ) ) ) )
59	58	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. P ) -> ( z e. N -> ( z ( le ` K ) X -> X e. N ) ) )
60	59	rexlimdv 3030	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. P ) -> ( E. z e. N z ( le ` K ) X -> X e. N ) )
61	33, 60	mpd 15	. 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) /\ Y e. P ) -> X e. N )
62	10, 61	impbida 877	1 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> ( X e. N <-> Y e. P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940   0.cp0 17037   OPcops 34459   <o ccvr 34549   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LLinesclln 34777   LPlanesclpl 34778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785

This theorem is referenced by:  2lplnmN  34845  2llnmj  34846  lplncvrlvol  34902  2lplnm2N  34907  2lplnmj  34908