Theorem lplnbase 34820

Description: A lattice plane is a lattice element. (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnbase.b	|- B = ( Base ` K )
lplnbase.p	|- P = ( LPlanes ` K )

Assertion

Ref	Expression
lplnbase	|- ( X e. P -> X e. B )

Proof of Theorem lplnbase

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3920	. . . 4 |- ( X e. P -> -. P = (/) )
2		lplnbase.p	. . . . 5 |- P = ( LPlanes ` K )
3	2	eqeq1i 2627	. . . 4 |- ( P = (/) <-> ( LPlanes ` K ) = (/) )
4	1, 3	sylnib 318	. . 3 |- ( X e. P -> -. ( LPlanes ` K ) = (/) )
5		fvprc 6185	. . 3 |- ( -. K e. _V -> ( LPlanes ` K ) = (/) )
6	4, 5	nsyl2 142	. 2 |- ( X e. P -> K e. _V )
7		lplnbase.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
8		eqid 2622	. . . 4 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
9		eqid 2622	. . . 4 |- ( LLines ` K ) = ( LLines ` K )
10	7, 8, 9, 2	islpln 34816	. . 3 |- ( K e. _V -> ( X e. P <-> ( X e. B /\ E. x e. ( LLines ` K ) x ( <o ` K ) X ) ) )
11	10	simprbda 653	. 2 |- ( ( K e. _V /\ X e. P ) -> X e. B )
12	6, 11	mpancom 703	1 |- ( X e. P -> X e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   <o ccvr 34549   LLinesclln 34777   LPlanesclpl 34778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-lplanes 34785

This theorem is referenced by:  islpln2  34822  llnmlplnN  34825  lplnnle2at  34827  lplnneat  34831  lplnnelln  34832  llncvrlpln2  34843  2lplnmN  34845  lplncmp  34848  lplnexatN  34849  lplnexllnN  34850  2llnjaN  34852  islvol3  34862  lvoli3  34863  lvolnle3at  34868  lplncvrlvol2  34901  lplncvrlvol  34902  lvolcmp  34903  2lplnm2N  34907  2lplnmj  34908  dalemyeb  34935  dalem10  34959  dalem16  34965  dalem44  35002  dalem55  35013