Theorem actfunsnf1o 30682

Description: The action F of extending function from B to C with new values at point I is a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
actfunsn.1	|- ( ( ph /\ k e. C ) -> A C_ ( C ^m B ) )
actfunsn.2	|- ( ph -> C e. _V )
actfunsn.3	|- ( ph -> I e. V )
actfunsn.4	|- ( ph -> -. I e. B )
actfunsn.5	|- F = ( x e. A |-> ( x u. { <. I , k >. } ) )

Assertion

Ref	Expression
actfunsnf1o	|- ( ( ph /\ k e. C ) -> F : A -1-1-onto-> ran F )

Distinct variable groups:   x, A   k, I, x   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( k)   B( x, k)   C( x, k)   F( x, k)   V( x, k)

Proof of Theorem actfunsnf1o

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		actfunsn.5	. . 3 |- F = ( x e. A |-> ( x u. { <. I , k >. } ) )
2		uneq1 3760	. . . 4 |- ( x = z -> ( x u. { <. I , k >. } ) = ( z u. { <. I , k >. } ) )
3	2	cbvmptv 4750	. . 3 |- ( x e. A |-> ( x u. { <. I , k >. } ) ) = ( z e. A |-> ( z u. { <. I , k >. } ) )
4	1, 3	eqtri 2644	. 2 |- F = ( z e. A |-> ( z u. { <. I , k >. } ) )
5		vex 3203	. . . 4 |- z e. _V
6		snex 4908	. . . 4 |- { <. I , k >. } e. _V
7	5, 6	unex 6956	. . 3 |- ( z u. { <. I , k >. } ) e. _V
8	7	a1i 11	. 2 |- ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ z e. A ) -> ( z u. { <. I , k >. } ) e. _V )
9		vex 3203	. . . 4 |- y e. _V
10	9	resex 5443	. . 3 |- ( y |` B ) e. _V
11	10	a1i 11	. 2 |- ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) -> ( y |` B ) e. _V )
12		rspe 3003	. . . . . . 7 |- ( ( z e. A /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> E. z e. A y = ( z u. { <. I , k >. } ) )
13	4, 7	elrnmpti 5376	. . . . . . 7 |- ( y e. ran F <-> E. z e. A y = ( z u. { <. I , k >. } ) )
14	12, 13	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( z e. A /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> y e. ran F )
15	14	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> y e. ran F )
16		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> y = ( z u. { <. I , k >. } ) )
17	16	reseq1d 5395	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> ( y |` B ) = ( ( z u. { <. I , k >. } ) |` B ) )
18		actfunsn.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> A C_ ( C ^m B ) )
19	18	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ z e. A ) -> z e. ( C ^m B ) )
20		elmapfn 7880	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( C ^m B ) -> z Fn B )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ z e. A ) -> z Fn B )
22		actfunsn.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I e. V )
23		fnsng 5938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ k e. C ) -> { <. I , k >. } Fn { I } )
24	22, 23	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> { <. I , k >. } Fn { I } )
25	24	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ z e. A ) -> { <. I , k >. } Fn { I } )
26		actfunsn.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. I e. B )
27		disjsn 4246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B i^i { I } ) = (/) <-> -. I e. B )
28	26, 27	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B i^i { I } ) = (/) )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( B i^i { I } ) = (/) )
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ z e. A ) -> ( B i^i { I } ) = (/) )
31		fnunres1 29417	. . . . . . . 8 |- ( ( z Fn B /\ { <. I , k >. } Fn { I } /\ ( B i^i { I } ) = (/) ) -> ( ( z u. { <. I , k >. } ) |` B ) = z )
32	21, 25, 30, 31	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ z e. A ) -> ( ( z u. { <. I , k >. } ) |` B ) = z )
33	32	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> ( ( z u. { <. I , k >. } ) |` B ) = z )
34	17, 33	eqtr2d 2657	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> z = ( y |` B ) )
35	15, 34	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> ( y e. ran F /\ z = ( y |` B ) ) )
36	35	anasss 679	. . 3 |- ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ ( z e. A /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) ) -> ( y e. ran F /\ z = ( y |` B ) ) )
37		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z = ( y |` B ) ) -> z = ( y |` B ) )
38		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> y = ( z u. { <. I , k >. } ) )
39	38	reseq1d 5395	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> ( y |` B ) = ( ( z u. { <. I , k >. } ) |` B ) )
40	18	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> A C_ ( C ^m B ) )
41		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> z e. A )
42	40, 41	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> z e. ( C ^m B ) )
43	42, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> z Fn B )
44	22	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> I e. V )
45		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> k e. C )
46	44, 45, 23	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> { <. I , k >. } Fn { I } )
47	28	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> ( B i^i { I } ) = (/) )
48	43, 46, 47, 31	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> ( ( z u. { <. I , k >. } ) |` B ) = z )
49	48, 41	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> ( ( z u. { <. I , k >. } ) |` B ) e. A )
50	39, 49	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> ( y |` B ) e. A )
51		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) -> y e. ran F )
52	51, 13	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) -> E. z e. A y = ( z u. { <. I , k >. } ) )
53	50, 52	r19.29a 3078	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) -> ( y |` B ) e. A )
54	53	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z = ( y |` B ) ) -> ( y |` B ) e. A )
55	37, 54	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z = ( y |` B ) ) -> z e. A )
56	37	uneq1d 3766	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z = ( y |` B ) ) -> ( z u. { <. I , k >. } ) = ( ( y |` B ) u. { <. I , k >. } ) )
57	39, 48	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> ( y |` B ) = z )
58	57	uneq1d 3766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> ( ( y |` B ) u. { <. I , k >. } ) = ( z u. { <. I , k >. } ) )
59	58, 38	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z e. A ) /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) -> ( ( y |` B ) u. { <. I , k >. } ) = y )
60	59, 52	r19.29a 3078	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) -> ( ( y |` B ) u. { <. I , k >. } ) = y )
61	60	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z = ( y |` B ) ) -> ( ( y |` B ) u. { <. I , k >. } ) = y )
62	56, 61	eqtr2d 2657	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z = ( y |` B ) ) -> y = ( z u. { <. I , k >. } ) )
63	55, 62	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ y e. ran F ) /\ z = ( y |` B ) ) -> ( z e. A /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) )
64	63	anasss 679	. . 3 |- ( ( ( ph /\ k e. C ) /\ ( y e. ran F /\ z = ( y |` B ) ) ) -> ( z e. A /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) )
65	36, 64	impbida 877	. 2 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( ( z e. A /\ y = ( z u. { <. I , k >. } ) ) <-> ( y e. ran F /\ z = ( y |` B ) ) ) )
66	4, 8, 11, 65	f1od 6885	1 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> F : A -1-1-onto-> ran F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -1-1-onto->wf1o 5887  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

This theorem is referenced by:  breprexplema  30708