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Theorem breprexplema 30708
Description: Lemma for breprexp 30711 (induction step for weighted sums over representations) (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
breprexp.n |- ( ph -> N e. NN0 )
breprexp.s |- ( ph -> S e. NN0 )
breprexplema.m |- ( ph -> M e. NN0 )
breprexplema.1 |- ( ph -> M <_ ( ( S + 1 ) x. N ) )
breprexplema.l |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) /\ y e. NN ) -> ( ( L ` x ) ` y ) e. CC )
Assertion
Ref Expression
breprexplema |- ( ph -> sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( S + 1 ) ) M ) prod_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) = sum_ b e. ( 1 ... N ) sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( L ` S ) ` b ) ) )
Distinct variable groups:   S, a   L, a, b, d, x, y   M, a, b, d   N, a, b, d   S, b, d, x, y   ph, a, b, d, x, y
Allowed substitution hints:   M( x, y)   N( x, y)
Proof of Theorem breprexplema
Dummy variables c e v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fz1ssnn 12372 . . . . 5 |- ( 1 ... N ) C_ NN
21a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... N ) C_ NN )
3 breprexplema.m . . . . 5 |- ( ph -> M e. NN0 )
43nn0zd 11480 . . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
5 breprexp.s . . . 4 |- ( ph -> S e. NN0 )
6 eqid 2622 . . . 4 |- ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) = ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) )
72, 4, 5, 6reprsuc 30693 . . 3 |- ( ph -> ( ( 1 ... N ) (repr ` ( S + 1 ) ) M ) = U_ b e. ( 1 ... N ) ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) )
87sumeq1d 14431 . 2 |- ( ph -> sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( S + 1 ) ) M ) prod_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) = sum_ d e. U_ b e. ( 1 ... N ) ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) prod_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) )
9 fzfid 12772 . . 3 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
101a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( 1 ... N ) C_ NN )
114adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> M e. ZZ )
12 fzssz 12343 . . . . . . . 8 |- ( 1 ... N ) C_ ZZ
13 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> b e. ( 1 ... N ) )
1412, 13sseldi 3601 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> b e. ZZ )
1511, 14zsubcld 11487 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( M - b ) e. ZZ )
165adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> S e. NN0 )
179adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
1810, 15, 16, 17reprfi 30694 . . . . 5 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) e. Fin )
19 mptfi 8265 . . . . 5 |- ( ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) e. Fin -> ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) e. Fin )
2018, 19syl 17 . . . 4 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) e. Fin )
21 rnfi 8249 . . . 4 |- ( ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) e. Fin -> ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) e. Fin )
2220, 21syl 17 . . 3 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) e. Fin )
2310, 15, 16reprval 30688 . . . . 5 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) = { c e. ( ( 1 ... N ) ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = ( M - b ) } )
24 ssrab2 3687 . . . . 5 |- { c e. ( ( 1 ... N ) ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = ( M - b ) } C_ ( ( 1 ... N ) ^m ( 0..^ S ) )
2523, 24syl6eqss 3655 . . . 4 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) C_ ( ( 1 ... N ) ^m ( 0..^ S ) ) )
269elexd 3214 . . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. _V )
27 fzonel 12483 . . . . 5 |- -. S e. ( 0..^ S )
2827a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> -. S e. ( 0..^ S ) )
2925, 26, 5, 28, 6actfunsnrndisj 30683 . . 3 |- ( ph -> Disj b e. ( 1 ... N ) ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) )
30 fzofi 12773 . . . . . 6 |- ( 0..^ ( S + 1 ) ) e. Fin
3130a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) -> ( 0..^ ( S + 1 ) ) e. Fin )
32 breprexplema.l . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) /\ y e. NN ) -> ( ( L ` x ) ` y ) e. CC )
3332ralrimiva 2966 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) -> A. y e. NN ( ( L ` x ) ` y ) e. CC )
3433ralrimiva 2966 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) A. y e. NN ( ( L ` x ) ` y ) e. CC )
3534ad3antrrr 766 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) /\ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) -> A. x e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) A. y e. NN ( ( L ` x ) ` y ) e. CC )
36 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) /\ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) -> a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) )
37 nfv 1843 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ v ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) )
38 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ v d
39 nfmpt1 4747 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ v ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) )
4039nfrn 5368 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ v ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) )
4138, 40nfel 2777 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ v d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) )
4237, 41nfan 1828 . . . . . . . . . . 11 |- F/ v ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) )
431a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) /\ v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ d = ( v u. { <. S , b >. } ) ) -> ( 1 ... N ) C_ NN )
4415ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) /\ v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ d = ( v u. { <. S , b >. } ) ) -> ( M - b ) e. ZZ )
4516ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) /\ v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ d = ( v u. { <. S , b >. } ) ) -> S e. NN0 )
46 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) /\ v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ d = ( v u. { <. S , b >. } ) ) -> v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) )
4743, 44, 45, 46reprf 30690 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) /\ v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ d = ( v u. { <. S , b >. } ) ) -> v : ( 0..^ S ) --> ( 1 ... N ) )
4813ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) /\ v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ d = ( v u. { <. S , b >. } ) ) -> b e. ( 1 ... N ) )
4945, 48fsnd 6179 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) /\ v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ d = ( v u. { <. S , b >. } ) ) -> { <. S , b >. } : { S } --> ( 1 ... N ) )
50 fzodisjsn 12505 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0..^ S ) i^i { S } ) = (/)
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) /\ v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ d = ( v u. { <. S , b >. } ) ) -> ( ( 0..^ S ) i^i { S } ) = (/) )
52 fun2 6067 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( v : ( 0..^ S ) --> ( 1 ... N ) /\ { <. S , b >. } : { S } --> ( 1 ... N ) ) /\ ( ( 0..^ S ) i^i { S } ) = (/) ) -> ( v u. { <. S , b >. } ) : ( ( 0..^ S ) u. { S } ) --> ( 1 ... N ) )
5347, 49, 51, 52syl21anc 1325 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) /\ v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ d = ( v u. { <. S , b >. } ) ) -> ( v u. { <. S , b >. } ) : ( ( 0..^ S ) u. { S } ) --> ( 1 ... N ) )
54 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) /\ v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ d = ( v u. { <. S , b >. } ) ) -> d = ( v u. { <. S , b >. } ) )
55 nn0uz 11722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
565, 55syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S e. ( ZZ>= ` 0 ) )
57 fzosplitsn 12576 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0..^ ( S + 1 ) ) = ( ( 0..^ S ) u. { S } ) )
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 0..^ ( S + 1 ) ) = ( ( 0..^ S ) u. { S } ) )
5958ad4antr 768 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) /\ v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ d = ( v u. { <. S , b >. } ) ) -> ( 0..^ ( S + 1 ) ) = ( ( 0..^ S ) u. { S } ) )
6054, 59feq12d 6033 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) /\ v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ d = ( v u. { <. S , b >. } ) ) -> ( d : ( 0..^ ( S + 1 ) ) --> ( 1 ... N ) <-> ( v u. { <. S , b >. } ) : ( ( 0..^ S ) u. { S } ) --> ( 1 ... N ) ) )
6153, 60mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) /\ v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ d = ( v u. { <. S , b >. } ) ) -> d : ( 0..^ ( S + 1 ) ) --> ( 1 ... N ) )
62 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) -> d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) )
63 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . 14 |- v e. _V
64 snex 4908 . . . . . . . . . . . . . 14 |- { <. S , b >. } e. _V
6563, 64unex 6956 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v u. { <. S , b >. } ) e. _V
666, 65elrnmpti 5376 . . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) <-> E. v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) d = ( v u. { <. S , b >. } ) )
6762, 66sylib 208 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) -> E. v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) d = ( v u. { <. S , b >. } ) )
6842, 61, 67r19.29af 3076 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) -> d : ( 0..^ ( S + 1 ) ) --> ( 1 ... N ) )
6968adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) /\ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) -> d : ( 0..^ ( S + 1 ) ) --> ( 1 ... N ) )
7069, 36ffvelrnd 6360 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) /\ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) -> ( d ` a ) e. ( 1 ... N ) )
711, 70sseldi 3601 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) /\ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) -> ( d ` a ) e. NN )
72 fveq2 6191 . . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( L ` x ) = ( L ` a ) )
7372fveq1d 6193 . . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( ( L ` x ) ` y ) = ( ( L ` a ) ` y ) )
7473eleq1d 2686 . . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( ( ( L ` x ) ` y ) e. CC <-> ( ( L ` a ) ` y ) e. CC ) )
75 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( d ` a ) -> ( ( L ` a ) ` y ) = ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) )
7675eleq1d 2686 . . . . . . . 8 |- ( y = ( d ` a ) -> ( ( ( L ` a ) ` y ) e. CC <-> ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) e. CC ) )
7774, 76rspc2v 3322 . . . . . . 7 |- ( ( a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) /\ ( d ` a ) e. NN ) -> ( A. x e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) A. y e. NN ( ( L ` x ) ` y ) e. CC -> ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) e. CC ) )
7836, 71, 77syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) /\ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) -> ( A. x e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) A. y e. NN ( ( L ` x ) ` y ) e. CC -> ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) e. CC ) )
7935, 78mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) /\ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) -> ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) e. CC )
8031, 79fprodcl 14682 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) e. CC )
8180anasss 679 . . 3 |- ( ( ph /\ ( b e. ( 1 ... N ) /\ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) e. CC )
829, 22, 29, 81fsumiun 14553 . 2 |- ( ph -> sum_ d e. U_ b e. ( 1 ... N ) ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) prod_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) = sum_ b e. ( 1 ... N ) sum_ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) prod_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) )
8358ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( 0..^ ( S + 1 ) ) = ( ( 0..^ S ) u. { S } ) )
8483prodeq1d 14651 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` a ) ) = prod_ a e. ( ( 0..^ S ) u. { S } ) ( ( L ` a ) ` ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` a ) ) )
85 nfv 1843 . . . . . . 7 |- F/ a ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) )
86 nfcv 2764 . . . . . . 7 |- F/_ a ( ( L ` S ) ` ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` S ) )
87 fzofi 12773 . . . . . . . 8 |- ( 0..^ S ) e. Fin
8887a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( 0..^ S ) e. Fin )
8916adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> S e. NN0 )
9027a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> -. S e. ( 0..^ S ) )
911a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( 1 ... N ) C_ NN )
9215adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( M - b ) e. ZZ )
93 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) )
9491, 92, 89, 93reprf 30690 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> e : ( 0..^ S ) --> ( 1 ... N ) )
95 ffn 6045 . . . . . . . . . . . 12 |- ( e : ( 0..^ S ) --> ( 1 ... N ) -> e Fn ( 0..^ S ) )
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> e Fn ( 0..^ S ) )
9796adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> e Fn ( 0..^ S ) )
9813adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> b e. ( 1 ... N ) )
99 fnsng 5938 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. NN0 /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> { <. S , b >. } Fn { S } )
10089, 98, 99syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> { <. S , b >. } Fn { S } )
101100adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> { <. S , b >. } Fn { S } )
10250a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( 0..^ S ) i^i { S } ) = (/) )
103 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> a e. ( 0..^ S ) )
104 fvun1 6269 . . . . . . . . . 10 |- ( ( e Fn ( 0..^ S ) /\ { <. S , b >. } Fn { S } /\ ( ( ( 0..^ S ) i^i { S } ) = (/) /\ a e. ( 0..^ S ) ) ) -> ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` a ) = ( e ` a ) )
10597, 101, 102, 103, 104syl112anc 1330 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` a ) = ( e ` a ) )
106105fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( L ` a ) ` ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` a ) ) = ( ( L ` a ) ` ( e ` a ) ) )
10734ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> A. x e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) A. y e. NN ( ( L ` x ) ` y ) e. CC )
108107adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> A. x e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) A. y e. NN ( ( L ` x ) ` y ) e. CC )
109 fzossfzop1 12545 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. NN0 -> ( 0..^ S ) C_ ( 0..^ ( S + 1 ) ) )
1105, 109syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0..^ S ) C_ ( 0..^ ( S + 1 ) ) )
111110ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( 0..^ S ) C_ ( 0..^ ( S + 1 ) ) )
112111sselda 3603 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) )
11394ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( e ` a ) e. ( 1 ... N ) )
1141, 113sseldi 3601 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( e ` a ) e. NN )
115 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( e ` a ) -> ( ( L ` a ) ` y ) = ( ( L ` a ) ` ( e ` a ) ) )
116115eleq1d 2686 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( e ` a ) -> ( ( ( L ` a ) ` y ) e. CC <-> ( ( L ` a ) ` ( e ` a ) ) e. CC ) )
11774, 116rspc2v 3322 . . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) /\ ( e ` a ) e. NN ) -> ( A. x e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) A. y e. NN ( ( L ` x ) ` y ) e. CC -> ( ( L ` a ) ` ( e ` a ) ) e. CC ) )
118112, 114, 117syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( A. x e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) A. y e. NN ( ( L ` x ) ` y ) e. CC -> ( ( L ` a ) ` ( e ` a ) ) e. CC ) )
119108, 118mpd 15 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( L ` a ) ` ( e ` a ) ) e. CC )
120106, 119eqeltrd 2701 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( L ` a ) ` ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` a ) ) e. CC )
121 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( a = S -> ( L ` a ) = ( L ` S ) )
122 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( a = S -> ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` a ) = ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` S ) )
123121, 122fveq12d 6197 . . . . . . 7 |- ( a = S -> ( ( L ` a ) ` ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` a ) ) = ( ( L ` S ) ` ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` S ) ) )
12450a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( ( 0..^ S ) i^i { S } ) = (/) )
125 snidg 4206 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. NN0 -> S e. { S } )
12689, 125syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> S e. { S } )
127 fvun2 6270 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( e Fn ( 0..^ S ) /\ { <. S , b >. } Fn { S } /\ ( ( ( 0..^ S ) i^i { S } ) = (/) /\ S e. { S } ) ) -> ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` S ) = ( { <. S , b >. } ` S ) )
12896, 100, 124, 126, 127syl112anc 1330 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` S ) = ( { <. S , b >. } ` S ) )
129 fvsng 6447 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. NN0 /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( { <. S , b >. } ` S ) = b )
13089, 98, 129syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( { <. S , b >. } ` S ) = b )
131128, 130eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` S ) = b )
132131fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( ( L ` S ) ` ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` S ) ) = ( ( L ` S ) ` b ) )
133 fzonn0p1 12544 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. NN0 -> S e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) )
1345, 133syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) )
135134ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> S e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) )
1361, 98sseldi 3601 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> b e. NN )
137 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = S -> ( L ` x ) = ( L ` S ) )
138137fveq1d 6193 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = S -> ( ( L ` x ) ` y ) = ( ( L ` S ) ` y ) )
139138eleq1d 2686 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = S -> ( ( ( L ` x ) ` y ) e. CC <-> ( ( L ` S ) ` y ) e. CC ) )
140 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = b -> ( ( L ` S ) ` y ) = ( ( L ` S ) ` b ) )
141140eleq1d 2686 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = b -> ( ( ( L ` S ) ` y ) e. CC <-> ( ( L ` S ) ` b ) e. CC ) )
142139, 141rspc2v 3322 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) /\ b e. NN ) -> ( A. x e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) A. y e. NN ( ( L ` x ) ` y ) e. CC -> ( ( L ` S ) ` b ) e. CC ) )
143135, 136, 142syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( A. x e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) A. y e. NN ( ( L ` x ) ` y ) e. CC -> ( ( L ` S ) ` b ) e. CC ) )
144107, 143mpd 15 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( ( L ` S ) ` b ) e. CC )
145132, 144eqeltrd 2701 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( ( L ` S ) ` ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` S ) ) e. CC )
14685, 86, 88, 89, 90, 120, 123, 145fprodsplitsn 14720 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> prod_ a e. ( ( 0..^ S ) u. { S } ) ( ( L ` a ) ` ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` a ) ) = ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` a ) ) x. ( ( L ` S ) ` ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` S ) ) ) )
147106prodeq2dv 14653 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` a ) ) = prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( e ` a ) ) )
148147, 132oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` a ) ) x. ( ( L ` S ) ` ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` S ) ) ) = ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( e ` a ) ) x. ( ( L ` S ) ` b ) ) )
14984, 146, 1483eqtrd 2660 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` a ) ) = ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( e ` a ) ) x. ( ( L ` S ) ` b ) ) )
150149sumeq2dv 14433 . . . 4 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` a ) ) = sum_ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( e ` a ) ) x. ( ( L ` S ) ` b ) ) )
151 simpl 473 . . . . . . . 8 |- ( ( d = ( e u. { <. S , b >. } ) /\ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) -> d = ( e u. { <. S , b >. } ) )
152151fveq1d 6193 . . . . . . 7 |- ( ( d = ( e u. { <. S , b >. } ) /\ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) -> ( d ` a ) = ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` a ) )
153152fveq2d 6195 . . . . . 6 |- ( ( d = ( e u. { <. S , b >. } ) /\ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) -> ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) = ( ( L ` a ) ` ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` a ) ) )
154153prodeq2dv 14653 . . . . 5 |- ( d = ( e u. { <. S , b >. } ) -> prod_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) = prod_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` a ) ) )
15525, 26, 5, 28, 6actfunsnf1o 30682 . . . . 5 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) : ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) -1-1-onto-> ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) )
1566a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) = ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) )
157 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ v = e ) -> v = e )
158157uneq1d 3766 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ v = e ) -> ( v u. { <. S , b >. } ) = ( e u. { <. S , b >. } ) )
159 vex 3203 . . . . . . . 8 |- e e. _V
160159, 64unex 6956 . . . . . . 7 |- ( e u. { <. S , b >. } ) e. _V
161160a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( e u. { <. S , b >. } ) e. _V )
162156, 158, 93, 161fvmptd 6288 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) /\ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) ` e ) = ( e u. { <. S , b >. } ) )
163154, 18, 155, 162, 80fsumf1o 14454 . . . 4 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) prod_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) = sum_ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) prod_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( ( e u. { <. S , b >. } ) ` a ) ) )
164 simpl 473 . . . . . . . . . 10 |- ( ( d = e /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> d = e )
165164fveq1d 6193 . . . . . . . . 9 |- ( ( d = e /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( d ` a ) = ( e ` a ) )
166165fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( ( d = e /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) = ( ( L ` a ) ` ( e ` a ) ) )
167166prodeq2dv 14653 . . . . . . 7 |- ( d = e -> prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) = prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( e ` a ) ) )
168167oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( d = e -> ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( L ` S ) ` b ) ) = ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( e ` a ) ) x. ( ( L ` S ) ` b ) ) )
169168cbvsumv 14426 . . . . 5 |- sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( L ` S ) ` b ) ) = sum_ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( e ` a ) ) x. ( ( L ` S ) ` b ) )
170169a1i 11 . . . 4 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( L ` S ) ` b ) ) = sum_ e e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( e ` a ) ) x. ( ( L ` S ) ` b ) ) )
171150, 163, 1703eqtr4d 2666 . . 3 |- ( ( ph /\ b e. ( 1 ... N ) ) -> sum_ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) prod_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) = sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( L ` S ) ` b ) ) )
172171sumeq2dv 14433 . 2 |- ( ph -> sum_ b e. ( 1 ... N ) sum_ d e. ran ( v e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( v u. { <. S , b >. } ) ) prod_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) = sum_ b e. ( 1 ... N ) sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( L ` S ) ` b ) ) )
1738, 82, 1723eqtrd 2660 1 |- ( ph -> sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` ( S + 1 ) ) M ) prod_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) = sum_ b e. ( 1 ... N ) sum_ d e. ( ( 1 ... N ) (repr ` S ) ( M - b ) ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( L ` a ) ` ( d ` a ) ) x. ( ( L ` S ) ` b ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   sum_csu 14416   prod_cprod 14635  reprcrepr 30686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-prod 14636  df-repr 30687
This theorem is referenced by:  breprexplemc  30710
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