Theorem prodfzo03 30681

Description: A product of three factors, indexed starting with zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodfzo03.1	|- ( k = 0 -> D = A )
prodfzo03.2	|- ( k = 1 -> D = B )
prodfzo03.3	|- ( k = 2 -> D = C )
prodfzo03.a	|- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ 3 ) ) -> D e. CC )

Assertion

Ref	Expression
prodfzo03	|- ( ph -> prod_ k e. ( 0..^ 3 ) D = ( A x. ( B x. C ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   C, k   ph, k

Allowed substitution hint:   D( k)

Proof of Theorem prodfzo03

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzodisjsn 12505	. . . . 5 |- ( ( 0..^ 2 ) i^i { 2 } ) = (/)
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 0..^ 2 ) i^i { 2 } ) = (/) )
3		2p1e3 11151	. . . . . . 7 |- ( 2 + 1 ) = 3
4	3	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( 0..^ ( 2 + 1 ) ) = ( 0..^ 3 )
5		2eluzge0 11733	. . . . . . 7 |- 2 e. ( ZZ>= ` 0 )
6		fzosplitsn 12576	. . . . . . 7 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0..^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( 0..^ 2 ) u. { 2 } ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 0..^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( 0..^ 2 ) u. { 2 } )
8	4, 7	eqtr3i 2646	. . . . 5 |- ( 0..^ 3 ) = ( ( 0..^ 2 ) u. { 2 } )
9	8	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( 0..^ 3 ) = ( ( 0..^ 2 ) u. { 2 } ) )
10		fzofi 12773	. . . . 5 |- ( 0..^ 3 ) e. Fin
11	10	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( 0..^ 3 ) e. Fin )
12		prodfzo03.a	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ 3 ) ) -> D e. CC )
13	2, 9, 11, 12	fprodsplit 14696	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. ( 0..^ 3 ) D = ( prod_ k e. ( 0..^ 2 ) D x. prod_ k e. { 2 } D ) )
14		0ne1 11088	. . . . . 6 |- 0 =/= 1
15		disjsn2 4247	. . . . . 6 |- ( 0 =/= 1 -> ( { 0 } i^i { 1 } ) = (/) )
16	14, 15	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ph -> ( { 0 } i^i { 1 } ) = (/) )
17		fzo0to2pr 12553	. . . . . . 7 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
18		df-pr 4180	. . . . . . 7 |- { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } )
19	17, 18	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( 0..^ 2 ) = ( { 0 } u. { 1 } )
20	19	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0..^ 2 ) = ( { 0 } u. { 1 } ) )
21		fzofi 12773	. . . . . 6 |- ( 0..^ 2 ) e. Fin
22	21	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0..^ 2 ) e. Fin )
23		2z 11409	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
24		3z 11410	. . . . . . . . 9 |- 3 e. ZZ
25		2re 11090	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
26		3re 11094	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
27		2lt3 11195	. . . . . . . . . 10 |- 2 < 3
28	25, 26, 27	ltleii 10160	. . . . . . . . 9 |- 2 <_ 3
29		eluz2 11693	. . . . . . . . 9 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ 2 <_ 3 ) )
30	23, 24, 28, 29	mpbir3an 1244	. . . . . . . 8 |- 3 e. ( ZZ>= ` 2 )
31		fzoss2 12496	. . . . . . . 8 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 0..^ 2 ) C_ ( 0..^ 3 ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( 0..^ 2 ) C_ ( 0..^ 3 )
33	32	sseli 3599	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0..^ 2 ) -> k e. ( 0..^ 3 ) )
34	33, 12	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ 2 ) ) -> D e. CC )
35	16, 20, 22, 34	fprodsplit 14696	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. ( 0..^ 2 ) D = ( prod_ k e. { 0 } D x. prod_ k e. { 1 } D ) )
36	35	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ph -> ( prod_ k e. ( 0..^ 2 ) D x. prod_ k e. { 2 } D ) = ( ( prod_ k e. { 0 } D x. prod_ k e. { 1 } D ) x. prod_ k e. { 2 } D ) )
37	13, 36	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( 0..^ 3 ) D = ( ( prod_ k e. { 0 } D x. prod_ k e. { 1 } D ) x. prod_ k e. { 2 } D ) )
38		snfi 8038	. . . . 5 |- { 0 } e. Fin
39	38	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> { 0 } e. Fin )
40		velsn 4193	. . . . 5 |- ( k e. { 0 } <-> k = 0 )
41		prodfzo03.1	. . . . . . 7 |- ( k = 0 -> D = A )
42	41	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = 0 ) -> D = A )
43		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ 3 ) ) /\ D = A ) -> D = A )
44	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ 3 ) ) /\ D = A ) -> D e. CC )
45	43, 44	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ 3 ) ) /\ D = A ) -> A e. CC )
46		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. _V
47	46	tpid1 4303	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. { 0 , 1 , 2 }
48		fzo0to3tp 12554	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0..^ 3 ) = { 0 , 1 , 2 }
49	47, 48	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ( 0..^ 3 )
50		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- A = A
51	41	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 0 -> ( D = A <-> A = A ) )
52	51	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ( 0..^ 3 ) /\ A = A ) -> E. k e. ( 0..^ 3 ) D = A )
53	49, 50, 52	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- E. k e. ( 0..^ 3 ) D = A
54	53	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. k e. ( 0..^ 3 ) D = A )
55	45, 54	r19.29a 3078	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. CC )
56	55	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = 0 ) -> A e. CC )
57	42, 56	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k = 0 ) -> D e. CC )
58	40, 57	sylan2b 492	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. { 0 } ) -> D e. CC )
59	39, 58	fprodcl 14682	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { 0 } D e. CC )
60		snfi 8038	. . . . 5 |- { 1 } e. Fin
61	60	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> { 1 } e. Fin )
62		velsn 4193	. . . . 5 |- ( k e. { 1 } <-> k = 1 )
63		prodfzo03.2	. . . . . . 7 |- ( k = 1 -> D = B )
64	63	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> D = B )
65		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ 3 ) ) /\ D = B ) -> D = B )
66	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ 3 ) ) /\ D = B ) -> D e. CC )
67	65, 66	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ 3 ) ) /\ D = B ) -> B e. CC )
68		1ex 10035	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. _V
69	68	tpid2 4304	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. { 0 , 1 , 2 }
70	69, 48	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ( 0..^ 3 )
71		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- B = B
72	63	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 1 -> ( D = B <-> B = B ) )
73	72	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ( 0..^ 3 ) /\ B = B ) -> E. k e. ( 0..^ 3 ) D = B )
74	70, 71, 73	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- E. k e. ( 0..^ 3 ) D = B
75	74	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. k e. ( 0..^ 3 ) D = B )
76	67, 75	r19.29a 3078	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. CC )
77	76	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> B e. CC )
78	64, 77	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> D e. CC )
79	62, 78	sylan2b 492	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. { 1 } ) -> D e. CC )
80	61, 79	fprodcl 14682	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { 1 } D e. CC )
81		snfi 8038	. . . . 5 |- { 2 } e. Fin
82	81	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> { 2 } e. Fin )
83		velsn 4193	. . . . 5 |- ( k e. { 2 } <-> k = 2 )
84		prodfzo03.3	. . . . . . 7 |- ( k = 2 -> D = C )
85	84	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = 2 ) -> D = C )
86		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ 3 ) ) /\ D = C ) -> D = C )
87	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ 3 ) ) /\ D = C ) -> D e. CC )
88	86, 87	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0..^ 3 ) ) /\ D = C ) -> C e. CC )
89		2ex 11092	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. _V
90	89	tpid3 4307	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. { 0 , 1 , 2 }
91	90, 48	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ( 0..^ 3 )
92		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- C = C
93	84	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 2 -> ( D = C <-> C = C ) )
94	93	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ( 0..^ 3 ) /\ C = C ) -> E. k e. ( 0..^ 3 ) D = C )
95	91, 92, 94	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- E. k e. ( 0..^ 3 ) D = C
96	95	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. k e. ( 0..^ 3 ) D = C )
97	88, 96	r19.29a 3078	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. CC )
98	97	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = 2 ) -> C e. CC )
99	85, 98	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k = 2 ) -> D e. CC )
100	83, 99	sylan2b 492	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. { 2 } ) -> D e. CC )
101	82, 100	fprodcl 14682	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { 2 } D e. CC )
102	59, 80, 101	mulassd 10063	. 2 |- ( ph -> ( ( prod_ k e. { 0 } D x. prod_ k e. { 1 } D ) x. prod_ k e. { 2 } D ) = ( prod_ k e. { 0 } D x. ( prod_ k e. { 1 } D x. prod_ k e. { 2 } D ) ) )
103		0nn0 11307	. . . . 5 |- 0 e. NN0
104	103	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
105	41	prodsn 14692	. . . 4 |- ( ( 0 e. NN0 /\ A e. CC ) -> prod_ k e. { 0 } D = A )
106	104, 55, 105	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { 0 } D = A )
107		1nn0 11308	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
108	107	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. NN0 )
109	63	prodsn 14692	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN0 /\ B e. CC ) -> prod_ k e. { 1 } D = B )
110	108, 76, 109	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. { 1 } D = B )
111		2nn0 11309	. . . . . 6 |- 2 e. NN0
112	111	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
113	84	prodsn 14692	. . . . 5 |- ( ( 2 e. NN0 /\ C e. CC ) -> prod_ k e. { 2 } D = C )
114	112, 97, 113	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. { 2 } D = C )
115	110, 114	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ph -> ( prod_ k e. { 1 } D x. prod_ k e. { 2 } D ) = ( B x. C ) )
116	106, 115	oveq12d 6668	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. { 0 } D x. ( prod_ k e. { 1 } D x. prod_ k e. { 2 } D ) ) = ( A x. ( B x. C ) ) )
117	37, 102, 116	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> prod_ k e. ( 0..^ 3 ) D = ( A x. ( B x. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   {ctp 4181   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465   prod_cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  circlevma  30720  circlemethhgt  30721