Theorem grothomex 9651

Description: The Tarski-Grothendieck Axiom implies the Axiom of Infinity (in the form of omex 8540). Note that our proof depends on neither the Axiom of Infinity nor Regularity. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
grothomex	|- om e. _V

Proof of Theorem grothomex

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r111 8638	. . . 4 |- R1 : On -1-1-> _V
2		omsson 7069	. . . 4 |- om C_ On
3		f1ores 6151	. . . 4 |- ( ( R1 : On -1-1-> _V /\ om C_ On ) -> ( R1 |` om ) : om -1-1-onto-> ( R1 " om ) )
4	1, 2, 3	mp2an 708	. . 3 |- ( R1 |` om ) : om -1-1-onto-> ( R1 " om )
5		f1of1 6136	. . 3 |- ( ( R1 |` om ) : om -1-1-onto-> ( R1 " om ) -> ( R1 |` om ) : om -1-1-> ( R1 " om ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( R1 |` om ) : om -1-1-> ( R1 " om )
7		r1fnon 8630	. . . . . . . 8 |- R1 Fn On
8		fvelimab 6253	. . . . . . . 8 |- ( ( R1 Fn On /\ om C_ On ) -> ( w e. ( R1 " om ) <-> E. x e. om ( R1 ` x ) = w ) )
9	7, 2, 8	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( w e. ( R1 " om ) <-> E. x e. om ( R1 ` x ) = w )
10		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` (/) ) )
11	10	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ( R1 ` x ) e. y <-> ( R1 ` (/) ) e. y ) )
12		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` w ) )
13	12	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( ( R1 ` x ) e. y <-> ( R1 ` w ) e. y ) )
14		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc w -> ( R1 ` x ) = ( R1 ` suc w ) )
15	14	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc w -> ( ( R1 ` x ) e. y <-> ( R1 ` suc w ) e. y ) )
16		r10 8631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R1 ` (/) ) = (/)
17	16	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R1 ` (/) ) e. y <-> (/) e. y )
18	17	biimpri 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. y -> ( R1 ` (/) ) e. y )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) -> ( R1 ` (/) ) e. y )
20		pweq 4161	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( R1 ` w ) -> ~P z = ~P ( R1 ` w ) )
21	20	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( R1 ` w ) -> ( ~P z e. y <-> ~P ( R1 ` w ) e. y ) )
22	21	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. y ~P z e. y -> ( ( R1 ` w ) e. y -> ~P ( R1 ` w ) e. y ) )
23		nnon 7071	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. om -> w e. On )
24		r1suc 8633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. On -> ( R1 ` suc w ) = ~P ( R1 ` w ) )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. om -> ( R1 ` suc w ) = ~P ( R1 ` w ) )
26	25	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. om -> ( ( R1 ` suc w ) e. y <-> ~P ( R1 ` w ) e. y ) )
27	26	biimprcd 240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P ( R1 ` w ) e. y -> ( w e. om -> ( R1 ` suc w ) e. y ) )
28	22, 27	syl6 35	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. y ~P z e. y -> ( ( R1 ` w ) e. y -> ( w e. om -> ( R1 ` suc w ) e. y ) ) )
29	28	com3r 87	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. om -> ( A. z e. y ~P z e. y -> ( ( R1 ` w ) e. y -> ( R1 ` suc w ) e. y ) ) )
30	29	adantld 483	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. om -> ( ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) -> ( ( R1 ` w ) e. y -> ( R1 ` suc w ) e. y ) ) )
31	11, 13, 15, 19, 30	finds2 7094	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> ( ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) -> ( R1 ` x ) e. y ) )
32		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R1 ` x ) = w -> ( ( R1 ` x ) e. y <-> w e. y ) )
33	32	biimpd 219	. . . . . . . . 9 |- ( ( R1 ` x ) = w -> ( ( R1 ` x ) e. y -> w e. y ) )
34	31, 33	syl9 77	. . . . . . . 8 |- ( x e. om -> ( ( R1 ` x ) = w -> ( ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) -> w e. y ) ) )
35	34	rexlimiv 3027	. . . . . . 7 |- ( E. x e. om ( R1 ` x ) = w -> ( ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) -> w e. y ) )
36	9, 35	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( w e. ( R1 " om ) -> ( ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) -> w e. y ) )
37	36	com12 32	. . . . 5 |- ( ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) -> ( w e. ( R1 " om ) -> w e. y ) )
38	37	ssrdv 3609	. . . 4 |- ( ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) -> ( R1 " om ) C_ y )
39		vex 3203	. . . . 5 |- y e. _V
40	39	ssex 4802	. . . 4 |- ( ( R1 " om ) C_ y -> ( R1 " om ) e. _V )
41	38, 40	syl 17	. . 3 |- ( ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) -> ( R1 " om ) e. _V )
42		0ex 4790	. . . 4 |- (/) e. _V
43		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x e. y <-> (/) e. y ) )
44	43	anbi1d 741	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( x e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) <-> ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) ) )
45	44	exbidv 1850	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) <-> E. y ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) ) )
46		axgroth6 9650	. . . . 5 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) )
47		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) -> ~P z e. y )
48	47	ralimi 2952	. . . . . . 7 |- ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) -> A. z e. y ~P z e. y )
49	48	anim2i 593	. . . . . 6 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) ) -> ( x e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) )
50	49	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ ~P z e. y ) /\ A. z e. ~P y ( z ~< y -> z e. y ) ) -> ( x e. y /\ A. z e. y ~P z e. y ) )
51	46, 50	eximii 1764	. . . 4 |- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ~P z e. y )
52	42, 45, 51	vtocl 3259	. . 3 |- E. y ( (/) e. y /\ A. z e. y ~P z e. y )
53	41, 52	exlimiiv 1859	. 2 |- ( R1 " om ) e. _V
54		f1dmex 7136	. 2 |- ( ( ( R1 |` om ) : om -1-1-> ( R1 " om ) /\ ( R1 " om ) e. _V ) -> om e. _V )
55	6, 53, 54	mp2an 708	1 |- om e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |` cres 5116   "cima 5117   Oncon0 5723   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   omcom 7065   ~< csdm 7954   R1cr1 8625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-groth 9645

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-r1 8627

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