Theorem ssdomg 8001

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	|- ( B e. V -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 4804	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. _V )
2		simpr 477	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> B e. V )
3		f1oi 6174	. . . . . . . . . 10 |- ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A
4		dff1o3 6143	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A <-> ( ( _I |` A ) : A -onto-> A /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
5	3, 4	mpbi 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( _I |` A ) : A -onto-> A /\ Fun `' ( _I |` A ) )
6	5	simpli 474	. . . . . . . 8 |- ( _I |` A ) : A -onto-> A
7		fof 6115	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` A ) : A -onto-> A -> ( _I |` A ) : A --> A )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( _I |` A ) : A --> A
9		fss 6056	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` A ) : A --> A /\ A C_ B ) -> ( _I |` A ) : A --> B )
10	8, 9	mpan 706	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( _I |` A ) : A --> B )
11		funi 5920	. . . . . . . 8 |- Fun _I
12		cnvi 5537	. . . . . . . . 9 |- `' _I = _I
13	12	funeqi 5909	. . . . . . . 8 |- ( Fun `' _I <-> Fun _I )
14	11, 13	mpbir 221	. . . . . . 7 |- Fun `' _I
15		funres11 5966	. . . . . . 7 |- ( Fun `' _I -> Fun `' ( _I |` A ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun `' ( _I |` A )
17	10, 16	jctir 561	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( ( _I |` A ) : A --> B /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
18		df-f1 5893	. . . . 5 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-> B <-> ( ( _I |` A ) : A --> B /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
19	17, 18	sylibr 224	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( _I |` A ) : A -1-1-> B )
20	19	adantr 481	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> ( _I |` A ) : A -1-1-> B )
21		f1dom2g 7973	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. V /\ ( _I |` A ) : A -1-1-> B ) -> A ~<_ B )
22	1, 2, 20, 21	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A ~<_ B )
23	22	expcom 451	1 |- ( B e. V -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ~<_ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-dom 7957

This theorem is referenced by:  cnvct  8033  ssct  8041  undom  8048  xpdom3  8058  domunsncan  8060  0domg  8087  domtriord  8106  sdomel  8107  sdomdif  8108  onsdominel  8109  pwdom  8112  2pwuninel  8115  mapdom1  8125  mapdom3  8132  limenpsi  8135  php  8144  php2  8145  php3  8146  onomeneq  8150  nndomo  8154  sucdom2  8156  unbnn  8216  nnsdomg  8219  fodomfi  8239  fidomdm  8243  pwfilem  8260  hartogslem1  8447  hartogs  8449  card2on  8459  wdompwdom  8483  wdom2d  8485  wdomima2g  8491  unxpwdom2  8493  unxpwdom  8494  harwdom  8495  r1sdom  8637  tskwe  8776  carddomi2  8796  cardsdomelir  8799  cardsdomel  8800  harcard  8804  carduni  8807  cardmin2  8824  infxpenlem  8836  ssnum  8862  acnnum  8875  fodomfi2  8883  inffien  8886  alephordi  8897  dfac12lem2  8966  cdadom3  9010  cdainflem  9013  cdainf  9014  unctb  9027  infunabs  9029  infcda  9030  infdif  9031  infdif2  9032  infmap2  9040  ackbij2  9065  fictb  9067  cfslb  9088  fincssdom  9145  fin67  9217  fin1a2lem12  9233  axcclem  9279  dmct  9346  brdom3  9350  brdom5  9351  brdom4  9352  imadomg  9356  fnct  9359  mptct  9360  ondomon  9385  alephval2  9394  alephadd  9399  alephmul  9400  alephexp1  9401  alephsuc3  9402  alephexp2  9403  alephreg  9404  pwcfsdom  9405  cfpwsdom  9406  canthnum  9471  pwfseqlem5  9485  pwxpndom2  9487  pwcdandom  9489  gchaleph  9493  gchaleph2  9494  gchac  9503  winainflem  9515  gchina  9521  tsksdom  9578  tskinf  9591  inttsk  9596  inar1  9597  inatsk  9600  tskord  9602  tskcard  9603  grudomon  9639  gruina  9640  axgroth2  9647  axgroth6  9650  grothac  9652  hashun2  13172  hashss  13197  hashsslei  13213  isercoll  14398  o1fsum  14545  incexc2  14570  znnen  14941  qnnen  14942  rpnnen  14956  ruc  14972  phicl2  15473  phibnd  15476  4sqlem11  15659  vdwlem11  15695  0ram  15724  mreexdomd  16310  pgpssslw  18029  fislw  18040  cctop  20810  1stcfb  21248  2ndc1stc  21254  1stcrestlem  21255  2ndcctbss  21258  2ndcdisj2  21260  2ndcsep  21262  dis2ndc  21263  csdfil  21698  ufilen  21734  opnreen  22634  rectbntr0  22635  ovolctb2  23260  uniiccdif  23346  dyadmbl  23368  opnmblALT  23371  vitali  23382  mbfimaopnlem  23422  mbfsup  23431  fta1blem  23928  aannenlem3  24085  ppiwordi  24888  musum  24917  ppiub  24929  chpub  24945  dchrisum0re  25202  dirith2  25217  upgrex  25987  rabfodom  29344  abrexdomjm  29345  mptctf  29495  locfinreflem  29907  esumcst  30125  omsmeas  30385  sibfof  30402  subfaclefac  31158  erdszelem10  31182  snmlff  31311  finminlem  32312  phpreu  33393  lindsdom  33403  poimirlem26  33435  mblfinlem1  33446  abrexdom  33525  heiborlem3  33612  ctbnfien  37382  pellexlem4  37396  pellexlem5  37397  ttac  37603  idomodle  37774  idomsubgmo  37776  uzct  39232  smfaddlem2  40972  smfmullem4  41001  smfpimbor1lem1  41005  aacllem  42547