Theorem blres 22236

Description: A ball in a restricted metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
blres.2	|- C = ( D |` ( Y X. Y ) )

Assertion

Ref	Expression
blres	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` C ) R ) = ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i Y ) )

Proof of Theorem blres

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 3834	. . . . . . . . . 10 |- ( X i^i Y ) C_ Y
2	1	sseli 3599	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( X i^i Y ) -> P e. Y )
3		blres.2	. . . . . . . . . . 11 |- C = ( D |` ( Y X. Y ) )
4	3	oveqi 6663	. . . . . . . . . 10 |- ( P C x ) = ( P ( D |` ( Y X. Y ) ) x )
5		ovres 6800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Y /\ x e. Y ) -> ( P ( D |` ( Y X. Y ) ) x ) = ( P D x ) )
6	4, 5	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Y /\ x e. Y ) -> ( P C x ) = ( P D x ) )
7	2, 6	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( X i^i Y ) /\ x e. Y ) -> ( P C x ) = ( P D x ) )
8	7	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( X i^i Y ) /\ x e. Y ) -> ( ( P C x ) < R <-> ( P D x ) < R ) )
9	8	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( X i^i Y ) /\ x e. Y ) -> ( ( x e. X /\ ( P C x ) < R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
10	9	pm5.32da 673	. . . . 5 |- ( P e. ( X i^i Y ) -> ( ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P C x ) < R ) ) <-> ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) ) )
11	10	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P C x ) < R ) ) <-> ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) ) )
12		elin 3796	. . . . . . 7 |- ( x e. ( X i^i Y ) <-> ( x e. X /\ x e. Y ) )
13		ancom 466	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X /\ x e. Y ) <-> ( x e. Y /\ x e. X ) )
14	12, 13	bitri 264	. . . . . 6 |- ( x e. ( X i^i Y ) <-> ( x e. Y /\ x e. X ) )
15	14	anbi1i 731	. . . . 5 |- ( ( x e. ( X i^i Y ) /\ ( P C x ) < R ) <-> ( ( x e. Y /\ x e. X ) /\ ( P C x ) < R ) )
16		anass 681	. . . . 5 |- ( ( ( x e. Y /\ x e. X ) /\ ( P C x ) < R ) <-> ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P C x ) < R ) ) )
17	15, 16	bitri 264	. . . 4 |- ( ( x e. ( X i^i Y ) /\ ( P C x ) < R ) <-> ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P C x ) < R ) ) )
18		ancom 466	. . . 4 |- ( ( ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) /\ x e. Y ) <-> ( x e. Y /\ ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
19	11, 17, 18	3bitr4g 303	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( ( x e. ( X i^i Y ) /\ ( P C x ) < R ) <-> ( ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) /\ x e. Y ) ) )
20		xmetres 22169	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` ( X i^i Y ) ) )
21	3, 20	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> C e. ( *Met ` ( X i^i Y ) ) )
22		elbl 22193	. . . 4 |- ( ( C e. ( *Met ` ( X i^i Y ) ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` C ) R ) <-> ( x e. ( X i^i Y ) /\ ( P C x ) < R ) ) )
23	21, 22	syl3an1 1359	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` C ) R ) <-> ( x e. ( X i^i Y ) /\ ( P C x ) < R ) ) )
24		elin 3796	. . . 4 |- ( x e. ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i Y ) <-> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) /\ x e. Y ) )
25		inss1 3833	. . . . . . 7 |- ( X i^i Y ) C_ X
26	25	sseli 3599	. . . . . 6 |- ( P e. ( X i^i Y ) -> P e. X )
27		elbl 22193	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
28	26, 27	syl3an2 1360	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
29	28	anbi1d 741	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) /\ x e. Y ) <-> ( ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) /\ x e. Y ) ) )
30	24, 29	syl5bb 272	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i Y ) <-> ( ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) /\ x e. Y ) ) )
31	19, 23, 30	3bitr4d 300	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` C ) R ) <-> x e. ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i Y ) ) )
32	31	eqrdv 2620	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. ( X i^i Y ) /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` C ) R ) = ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   i^i cin 3573   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   < clt 10074   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-xr 10078  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741

This theorem is referenced by:  metrest  22329  xrsmopn  22615  lebnumii  22765  blssp  33552  sstotbnd2  33573  blbnd  33586  ssbnd  33587  iooabslt  39721