Theorem metxmet 22139

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	|- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 22138	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) <-> ( D e. ( *Met ` X ) /\ D : ( X X. X ) --> RR ) )
2	1	simplbi 476	1 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888   RRcr 9935   *Metcxmt 19731   Metcme 19732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-mulcl 9998  ax-i2m1 10004

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-xadd 11947  df-xmet 19739  df-met 19740

This theorem is referenced by:  metdmdm  22141  meteq0  22144  mettri2  22146  met0  22148  metge0  22150  metsym  22155  metrtri  22162  metgt0  22164  metres2  22168  prdsmet  22175  imasf1omet  22181  blpnf  22202  bl2in  22205  isms2  22255  setsms  22285  tmsms  22292  metss2lem  22316  metss2  22317  methaus  22325  dscopn  22378  ngpocelbl  22508  cnxmet  22576  rexmet  22594  metdcn2  22642  metdsre  22656  metdscn2  22660  lebnumlem1  22760  lebnumlem2  22761  lebnumlem3  22762  lebnum  22763  xlebnum  22764  cmetcaulem  23086  cmetcau  23087  iscmet3lem1  23089  iscmet3lem2  23090  iscmet3  23091  equivcfil  23097  equivcau  23098  cmetss  23113  relcmpcmet  23115  cmpcmet  23116  cncmet  23119  bcthlem2  23122  bcthlem3  23123  bcthlem4  23124  bcthlem5  23125  bcth2  23127  bcth3  23128  cmetcusp1  23149  cmetcusp  23150  minveclem3  23200  imsxmet  27547  blocni  27660  ubthlem1  27726  ubthlem2  27727  minvecolem4a  27733  hhxmet  28032  hilxmet  28052  fmcncfil  29977  blssp  33552  lmclim2  33554  geomcau  33555  caures  33556  caushft  33557  sstotbnd2  33573  equivtotbnd  33577  isbndx  33581  isbnd3  33583  ssbnd  33587  totbndbnd  33588  prdstotbnd  33593  prdsbnd2  33594  heibor1lem  33608  heibor1  33609  heiborlem3  33612  heiborlem6  33615  heiborlem8  33617  heiborlem9  33618  heiborlem10  33619  heibor  33620  bfplem1  33621  bfplem2  33622  rrncmslem  33631  ismrer1  33637  reheibor  33638  metpsmet  39268  qndenserrnbllem  40514  qndenserrnbl  40515  qndenserrnopnlem  40517  rrndsxmet  40523  hoiqssbllem2  40837  hoiqssbl  40839  opnvonmbllem2  40847