mettrifi - Mathbox for Jeff Madsen

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Theorem mettrifi 33553

Description: Generalized triangle inequality for arbitrary finite sums. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
mettrifi.2
mettrifi.3
mettrifi.4	$/\$

**Assertion**
Ref	Expression
mettrifi

Distinct variable groups:

Proof of Theorem mettrifi Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mettrifi.3	. . 3
2		eluzfz2 12349	. . 3
3	1, 2	syl 17	. 2
4		eleq1 2689	. . . . . 6
5		fveq2 6191	. . . . . . . 8
6	5	oveq2d 6666	. . . . . . 7
7		oveq1 6657	. . . . . . . . 9
8	7	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
9	8	sumeq1d 14431	. . . . . . 7
10	6, 9	breq12d 4666	. . . . . 6
11	4, 10	imbi12d 334	. . . . 5
12	11	imbi2d 330	. . . 4
13		eleq1 2689	. . . . . 6
14		fveq2 6191	. . . . . . . 8
15	14	oveq2d 6666	. . . . . . 7
16		oveq1 6657	. . . . . . . . 9
17	16	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
18	17	sumeq1d 14431	. . . . . . 7
19	15, 18	breq12d 4666	. . . . . 6
20	13, 19	imbi12d 334	. . . . 5
21	20	imbi2d 330	. . . 4
22		eleq1 2689	. . . . . 6
23		fveq2 6191	. . . . . . . 8
24	23	oveq2d 6666	. . . . . . 7
25		oveq1 6657	. . . . . . . . 9
26	25	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
27	26	sumeq1d 14431	. . . . . . 7
28	24, 27	breq12d 4666	. . . . . 6
29	22, 28	imbi12d 334	. . . . 5
30	29	imbi2d 330	. . . 4
31		eleq1 2689	. . . . . 6
32		fveq2 6191	. . . . . . . 8
33	32	oveq2d 6666	. . . . . . 7
34		oveq1 6657	. . . . . . . . 9
35	34	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
36	35	sumeq1d 14431	. . . . . . 7
37	33, 36	breq12d 4666	. . . . . 6
38	31, 37	imbi12d 334	. . . . 5
39	38	imbi2d 330	. . . 4
40		0le0 11110	. . . . . . . 8
41	40	a1i 11	. . . . . . 7
42		mettrifi.2	. . . . . . . 8
43		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . 10
44	1, 43	syl 17	. . . . . . . . 9
45		mettrifi.4	. . . . . . . . . 10 $/\$
46	45	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9
47		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11
48	47	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10
49	48	rspcv 3305	. . . . . . . . 9
50	44, 46, 49	sylc 65	. . . . . . . 8
51		met0 22148	. . . . . . . 8 $/\$
52	42, 50, 51	syl2anc 693	. . . . . . 7
53		eluzel2 11692	. . . . . . . . . . . . 13
54	1, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
55	54	zred 11482	. . . . . . . . . . 11
56	55	ltm1d 10956	. . . . . . . . . 10
57		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . 12
58	54, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11
59		fzn 12357	. . . . . . . . . . 11 $/\$
60	54, 58, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10
61	56, 60	mpbid 222	. . . . . . . . 9
62	61	sumeq1d 14431	. . . . . . . 8
63		sum0 14452	. . . . . . . 8
64	62, 63	syl6eq 2672	. . . . . . 7
65	41, 52, 64	3brtr4d 4685	. . . . . 6
66	65	a1d 25	. . . . 5
67	66	a1i 11	. . . 4
68		peano2fzr 12354	. . . . . . . . . 10 $/\$
69	68	ex 450	. . . . . . . . 9
70	69	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
71	70	imim1d 82	. . . . . . 7 $/\$
72	42	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
73	50	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
74		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
75	46	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
76		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15
77	76	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14
78	77	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13
79	74, 75, 78	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
80		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
81	80	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15
82	81	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . 14
83	75, 82	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
84	70	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
85		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . 13
86	83, 84, 85	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
87		mettri 22157	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
88	72, 73, 79, 86, 87	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
89		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
90	72, 73, 79, 89	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
92	72, 73, 86, 91	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
93		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
94	72, 86, 79, 93	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
95	92, 94	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
96		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
97	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
98		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
99	84, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
100		fzss2 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
102	101	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
103	45	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
104	102, 103	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
105		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106	105	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
107		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
109		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110	74, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
112		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
113	112	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
114		eluzp1p1 11713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
116		uztrn 11704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
117	111, 115, 116	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
118		elfzuzb 12336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	108, 117, 118	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
120		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121	120	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
122	121	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
123	83, 122	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
124	119, 123	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
125		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
126	97, 104, 124, 125	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
127	96, 126	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
128		letr 10131	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
129	90, 95, 127, 128	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
130	88, 129	mpand 711	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
131		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
132		fzssp1 12384	. . . . . . . . . . . . . . . 16
133		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
134	133	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
135	134	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
136		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
137		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
138	135, 136, 137	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
139	138	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
140	132, 139	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
141	140	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
142	141, 126	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
143	131, 142	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
144	92, 143, 94	leadd1d 10621	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
145		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
146	126	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
147		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15
148	147	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14
149	80, 148	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13
150	145, 146, 149	fsumm1 14480	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
151	150	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
152	144, 151	bitr4d 271	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
153		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
154	135, 136, 153	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
155	154	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
156	155	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
157	156	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
158	130, 152, 157	3imtr4d 283	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
159	158	3expia 1267	. . . . . . . 8 $/\$
160	159	a2d 29	. . . . . . 7 $/\$
161	71, 160	syld 47	. . . . . 6 $/\$
162	161	expcom 451	. . . . 5
163	162	a2d 29	. . . 4
164	12, 21, 30, 39, 67, 163	uzind4 11746	. . 3
165	1, 164	mpcom 38	. 2
166	3, 165	mpd 15	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

wss 3574

c0 3915 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326

csu 14416

cme 19732

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-xadd 11947 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-xmet 19739 df-met 19740

This theorem is referenced by: geomcau 33555

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